一次不定方程式
ゾウ先生特殊解を1組見つければ、残りの解はtを動かすだけで全部出てくるよ。
30秒でつかむ
- x、yが整数であるという条件のもとでax＋by＝cを満たす組を求める方程式を一次不定方程式という。
- 1組の解(x₀,y₀)が見つかれば、他の整数解はx＝x₀＋bt、y＝y₀−at（tは整数）の形で表せる。
- 互除法（新しいタブで開きます）を逆にたどると、ax＋by＝1を満たす1組の整数解を見つけられる。
詳しく
公式
x、yが整数のとき、を満たす整数の組(x,y)を求める方程式を考える。これを一次不定方程式という。aとbが互いに素（新しいタブで開きます）であれば、この方程式はいつも整数解をもつ。
1組の整数解(x₀,y₀)が見つかったとする。からを引くと、となる。aとbが互いに素であることから、（tは整数）とすべての整数解を表せる。
この(x₀,y₀)のような最初に見つける解を特殊解、tを用いて整数解全部を表した式を一般解という。
例題
例題：を満たす整数x、yの組をすべて求めよう。
まず特殊解を1組見つける。、を代入するととなり成り立つ。だからは特殊解。
一般解は（tは整数）となる。t＝0で(−1,2)、t＝1で(3,−5)のように、tを変えるとほかの整数解も得られる。
なぜそうなるか
特殊解は、ユークリッドの互除法を逆にたどって見つけられる。7と4に互除法を使うと、となり、最大公約数は1。
下から逆にたどっていく。、なので、となる。これはと同じ式になる。互除法の計算を逆向きにたどるだけで特殊解が見つかる。
一般解でtを動かしても式の値が変わらないのは、という関係があるからだ。xを4だけ増やしてyを7だけ減らしても、7x＋4yの値は変わらない。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/linear-diophantine-equations/?from=print#quiz
3x＋5y＝1の整数解であるものはどれか。
- ◯ (x,y)=(4,-2)
- ◯ (x,y)=(2,-1)
- ◯ (x,y)=(-2,1)
- ◯ (x,y)=(1,1)
正解：(x,y)=(2,-1)
3×2＋5×(−1)＝6−5＝1となり成り立つ。ほかは3×1＋5×1＝8、3×(−2)＋5×1＝−1、3×4＋5×(−2)＝2でどれも1にならない。9x＋5y＝1の特殊解が(x,y)＝(−1,2)のとき、一般解（tは整数）として正しいものはどれか。
- ◯ x=-1+5t, y=2+9t
- ◯ x=-1+9t, y=2-5t
- ◯ x=-1-5t, y=2-9t
- ◯ x=-1+5t, y=2-9t
正解：x=-1+5t, y=2-9t
ax＋by＝cの一般解はx＝x₀＋bt、y＝y₀−atの形。a＝9、b＝5なので、x＝−1＋5t、y＝2−9tになる。50円切手をx枚、80円切手をy枚買って820円にしたい。50x＋80y＝820を満たし、y＝4のとき、xはいくつか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：10
50x＋80×4＝820より50x＋320＝820、50x＝500、x＝10。9x＋5y＝1の整数解を考える。特殊解(x,y)＝(−1,2)の一般解x＝−1＋5t、y＝2−9tを使い、x＝4のときのyを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：-7
x＝−1＋5t＝4よりt＝1。y＝2−9×1＝−7。
単元のポイント
- 一次不定方程式 ax＋by＝cを満たす整数x、yの組を求める方程式
- 特殊解 最初に見つける1組の整数解
- 一般解 tを用いてすべての整数解を表した式