二次方程式の文章題
ゾウ先生方程式を解くだけで終わらない。xの範囲に合う解かどうか、最後に必ず確かめよう。
30秒でつかむ
- 求めたい数量をxとおき、問題文の条件を方程式にして解くのが二次方程式の文章題の進め方。
- 二次方程式の解は2つ出ることが多いが、長さや個数などxの範囲に合わない解は答えから外す。
- 正方形の辺を変えて長方形をつくる問題や、連続する整数の積の問題がよく出る典型例だ。
詳しく
公式
文章題を二次方程式で解く手順は、次の4つだ。①求めたい数量をxとおく。②条件を2通りの式で表す。③等号で結び方程式をつくる。④解いて、xの範囲に合う解を選ぶ。
二次方程式の解は一般に2つあるので、最後に長さや個数として適切かを確かめる手順が欠かせない。
例題
例題：正方形の1辺を1cm長くし、もう1辺を1cm短くしてできた長方形の面積が24cm²だった。もとの正方形の1辺の長さを求めよう。
もとの1辺をxcmとすると、長方形の面積は。展開すると、。
だが、xは長さなので正の数。だから、もとの正方形の1辺は5cmになる。
も方程式の解だが、長さが負になることはないので、解の吟味で外す。
なぜそうなるか
一元一次方程式や連立方程式では、既習の範囲では求められない問題がある。文字の次数を増やすことで、二次方程式を使って解決できる問題が広がる。
この例題は、既習の一次方程式や連立方程式では求められない。二次方程式の必要性がよくわかる典型的な問題だ。
二次方程式の解は2つあることが多いが、問題にする事象に戻して、答えとして適切かどうかを調べることが大切。xが負になった長さは、現実には存在しないので答えから外す。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/quadratic-equation-word-problems/?from=print#quiz
正方形の1辺を1cm長く、もう1辺を1cm短くした長方形の面積が24cm²のとき、もとの正方形の1辺の長さを、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
1辺をxcmとすると、(x＋1)(x−1)＝24より、x²−1＝24、x²＝25。x＞0だからx＝5。この問題で、もとの正方形の1辺の長さをxとすると、長方形の面積を表す式はどれか。
- ◯ (x＋1)²
- ◯ 2x−1
- ◯ (x＋1)(x−1)
- ◯ x²＋1
正解：(x＋1)(x−1)
1辺を1cm長くした(x＋1)と、1cm短くした(x−1)の積が長方形の面積になる。連続する2つの正の整数の積が56になるとき、小さい方の整数を、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：7
小さい方をnとすると、n(n＋1)＝56より、n²＋n−56＝0。因数分解（新しいタブで開きます）すると(n−7)(n＋8)＝0。n＞0だからn＝7。面積が35cm²の長方形で、縦の長さが横より2cm長いとき、横の長さを求める方程式はどれか。横をxcmとする。
- ◯ 2x＝35
- ◯ x²＝35
- ◯ x(x−2)＝35
- ◯ x(x＋2)＝35
正解：x(x＋2)＝35
横がxcmなら、縦はx＋2cm。面積は横×縦なので、x(x＋2)＝35になる。面積が35cm²で、縦が横より2cm長い長方形の、横の長さを、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
x(x＋2)＝35より、x²＋2x−35＝0。因数分解すると(x−5)(x＋7)＝0。x＞0だからx＝5。
単元のポイント
- 二次方程式の応用 文章題を方程式にして、二次方程式を解く問題
- 連続する整数 1つずつ順に並ぶ整数。小さい方をnとするとn, n＋1と表せる
- 解の吟味 求めた解が、問題の条件（長さや個数など）に合うかを確かめること
- 二次方程式 xの2乗の項を含む方程式。解が2つ出ることが多い
- 方程式をつくる 問題文の数量の関係を、文字を使った等式で表すこと