剰余(じょうよ)の定理(ていり)と因数定理(いんすうていり)

整式(せいしき)の割(わ)り算(ざん)では、A＝BQ＋R（Rの次数(じすう)はBの次数(じすう)より小(ちい)さい）という関係(かんけい)が成(な)り立(た)つことを学(まな)んだ。ここでは、Bが$x-a$の形(かたち)のときの余(あま)りRを考(かんが)えよう。

$P(x)=(x-a)Q(x)+R$とすると、$x=a$を代入(だいにゅう)する。$(a-a)Q(a)=0$になるので、$P(a)=R$になる。

つまり、整式(せいしき)$P(x)$を$x-a$で割(わ)った余(あま)りは、実際(じっさい)に割(わ)り算(ざん)をしなくても$P(a)$でわかる。これを剰余(じょうよ)の定理(ていり)という。

例(たと)えば、$P(x)=x^3-2x+3$を$x-2$で割(わ)った余(あま)りは、$P(2)=8-4+3=7$。割(わ)り算(ざん)をしなくても求(もと)まる。

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$P(a)=0$なら、$P(x)$は$x-a$で割(わ)り切(き)れる。これを因数(いんすう)定理(ていり)という。

例題(れいだい)：$x^3-6x^2+11x-6=0$を解(と)け。

$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$として$P(1)=1-6+11-6=0$だ。だから$P(x)$は$x-1$で割(わ)り切(き)れる。実際(じっさい)に割(わ)ると$\mathbf{P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)}$になる。

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$だ。だから$\mathbf{P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)}$になる。解(かい)は$x=1,2,3$の3つだ。

$x^4+x^2-2=0$のように、偶数次(ぐうすうじ)の項(こう)だけでできた四次(よじ)方程式(ほうていしき)を複二次方程式(ふくにじほうていしき)という。$x^2=t$と置(お)き換(か)えると、2次(じ)方程式(ほうていしき)になる。

$t^2+t-2=0$を解(と)くと$(t+2)(t-1)=0$より$t=-2,1$。$t=x^2$だから、$x^2=1$より$x=\pm1$になる。$x^2=-2$より$x=\pm\sqrt2\,i$になる。複素数(ふくそすう)（新しいタブで開きます）まで広(ひろ)げると、4つの解(かい)がすべて見(み)つかった。

方程式(ほうていしき)は日常(にちじょう)の問題(もんだい)にも使(つか)える。高(たか)さをxcmとすると、縦(たて)は$(x-2)$cm、横(よこ)は$(x+3)$cmの直方体(ちょくほうたい)で、容積(ようせき)が350cm³の箱(はこ)を考(かんが)える。

$x(x-2)(x+3)=350$を整理(せいり)すると$x^3+x^2-6x-350=0$。$P(7)=343+49-42-350=0$だから$x=7$が解(かい)で、高(たか)さ7cm・縦(たて)5cm・横(よこ)10cmの箱(はこ)になる。

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