複素数(ふくそすう)

数学(すうがく)Ⅰでは実数(じっすう)の範囲(はんい)で考(かんが)え、2乗(じょう)して負(ふ)になる数(かず)の平方根(へいほうこん)は求(もと)められないとした。ここでは、2乗(じょう)すると負(ふ)になる新(あたら)しい数(かず)を使(つか)って、数(かず)の範囲(はんい)を広(ひろ)げる。

2乗(じょう)すると$-1$になる数(かず)を$\mathbf{i}$と書(か)き、虚数単位(きょすうたんい)という（$i^2=-1$）。a,bを実数(じっすう)として、$\mathbf{a+bi}$の形(かたち)に表(あらわ)せる数(かず)を複素数(ふくそすう)という。aを実部(じつぶ)、bを虚部(きょぶ)という。

2つの複素数(ふくそすう)が等(ひと)しいのは、実部(じつぶ)と虚部(きょぶ)がそれぞれ等(ひと)しいときだけだ。$a+bi=c+di$なら$a=c$かつ$b=d$（a,b,c,dは実数(じっすう)）。

とくに虚部(きょぶ)が0の複素数(ふくそすう)は実数(じっすう)で、実部(じつぶ)が0で虚部(きょぶ)が0でない複素数(ふくそすう)を虚数(きょすう)という。

$a+bi$に対(たい)して$a-bi$を共役(きょうやく)な複素数(ふくそすう)といい、積(せき)をとると実数(じっすう)になる。たとえば$2+3i$の共役(きょうやく)な複素数(ふくそすう)は$2-3i$だ。$(2+3i)(2-3i)=4-9i^2=13$のように、積(せき)は実数(じっすう)になる。

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例題(れいだい)：$2+3i$と$1-4i$の和(わ)・差(さ)・積(せき)を求(もと)めよ。

和(わ)は実部(じつぶ)どうし・虚部(きょぶ)どうしを足(た)す。$(2+3i)+(1-4i)=\mathbf{3-i}$だ。

差(さ)も同(おな)じように引(ひ)くと、$(2+3i)-(1-4i)=\mathbf{1+7i}$になる。積(せき)は文字(もんじ)式(しき)の展開(てんかい)（新しいタブで開きます）と同(おな)じように計算(けいさん)し、$i^2=-1$で置(お)き換(か)える。

$(2+3i)(1-4i)=2-8i+3i-12i^2$で、$-12i^2=12$だ。だから$\mathbf{(2+3i)(1-4i)=14-5i}$というわけだ。

負(ふ)の数(すう)の平方根(へいほうこん)も同(おな)じ考(かんが)え方(かた)で表(あらわ)せる。$\sqrt{-3}=\sqrt3\,i$のように、正(せい)の数(すう)の平方根(へいほうこん)にiをかける。これを使(つか)うと$x^2+1=0$の解(かい)は$x=\pm i$と求(もと)まる。

数学(すうがく)Ⅰで学(まな)んだ数(かず)の範囲(はんい)を振(ふ)り返(かえ)ろう。自然数(しぜんすう)は引(ひ)き算(ざん)で、整数(せいすう)は分数(ぶんすう)で、有理数(ゆうりすう)は根号(こんごう)を含(ふく)む計算(けいさん)で、それぞれ範囲(はんい)が広(ひろ)がってきた。複素数(ふくそすう)も同(おな)じように、二次方程式(にじほうていしき)がいつも解(かい)をもつように数(かず)を広(ひろ)げたものといえる。

$x^2+1=0$を実数(じっすう)の範囲(はんい)で考(かんが)えると、$y=x^2+1$のグラフはx軸(じく)より上(うえ)にあり、x軸(じく)と共有(きょうゆう)点(てん)（新しいタブで開きます）をもたない。だから実数(じっすう)の解(かい)はない。

複素数(ふくそすう)の範囲(はんい)まで広(ひろ)げると、$x^2+1=0$は$x=\pm i$という解(かい)をもつ。複素数(ふくそすう)の範囲(はんい)では、どんな二次方程式(にじほうていしき)も必(かなら)ず解(かい)をもつ。これが数(かず)を複素数(ふくそすう)まで広(ひろ)げる意義(いぎ)だ。

下(した)の図(ず)のように、自然数(しぜんすう)・整数(せいすう)・有理数(ゆうりすう)・実数(じっすう)は複素数(ふくそすう)の中(なか)に含(ふく)まれている。複素数(ふくそすう)まで広(ひろ)げたことで、二次方程式(にじほうていしき)の解(かい)はいつも見(み)つかるようになった。

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