二次方程式の解の判別と解と係数の関係
ゾウ先生判別式の符号と、2つの解を実際に求めた結果を見比べると、公式の意味がつながるよ。
30秒でつかむ
- 二次方程式ax²＋bx＋c＝0の判別式（新しいタブで開きます）はD＝b²−4ac。Dの符号で解の種類がわかる。
- D＞0なら異なる2つの実数（新しいタブで開きます）解、D＝0なら重解、D＜0なら異なる2つの虚数解になる。
- 2つの解をα,βとすると、α＋β＝−b/a、αβ＝c/aという解と係数の関係が成り立つ。
詳しく
判別式と解の種類
数学Ⅰでは、二次関数のグラフとx軸の共有点の個数を、判別式の符号で調べた。ここでは複素数（新しいタブで開きます）まで数の範囲を広げて、二次方程式の解そのものの種類を考える。
二次方程式の解の公式（新しいタブで開きます）に出てくる次の式を判別式といい、Dと書く。
なら異なる2つの実数解、なら重解になる。数学Ⅰでは実数の解はないとしたが、のときは解の公式の根号の中が負になる。複素数を使うと異なる2つの虚数解になる。複素数の範囲では、二次方程式はいつも解をもつ。
例題
例題：次の3つの二次方程式を、判別式Dの符号で比べよ。、、の3つだ。
1つ目はで異なる2つの実数解（）。2つ目はで重解（）。3つ目はで異なる2つの虚数解だ。
例題：の2つの解をα,βとする。解と係数の関係を使うとだ。も同時にわかる。実際に解くとで、、と一致する。
例題：の2つの解をα,βとするとき、の値を求めよ。、になる。は次の公式で求まる。
計算するとになる。
なぜそうなるか
解の公式から、2つの解は次のように書ける。
＋のほうをα、−のほうをβとする。足すとが消えて、だ。
かけるとが2乗されて消える。になる。下の図のように、α,βは軸について左右対称な位置にある。
逆に、2数の和をp、積をqとすると、はその2数を解とする二次方程式だ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/quadratic-discriminant-and-root-relations/?from=print#quiz
二次方程式x²−3x＋5＝0の判別式の符号から、解の種類を答えよ。
- ◯ 異なる2つの実数解
- ◯ 解はない
- ◯ 異なる2つの虚数解
- ◯ 重解
正解：異なる2つの虚数解
D＝(−3)²−4×1×5＝9−20＝−11＜0なので、異なる2つの虚数解をもつ。二次方程式x²−7x＋10＝0の2つの解をα,βとするとき、α＋βの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：7
α＋β＝−b/a＝−(−7)/1＝7。実際に解いても2＋5＝7で一致する。二次方程式x²−3x＋1＝0の2つの解をα,βとするとき、α²＋β²の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：7
α＋β＝3、αβ＝1なので、α²＋β²＝(α＋β)²−2αβ＝9−2＝7。3と−2を解とする、x²の係数が1の二次方程式を1つ求めよ。
- ◯ x²−x＋6＝0
- ◯ x²＋x−6＝0
- ◯ x²−6x−1＝0
- ◯ x²−x−6＝0
正解：x²−x−6＝0
和は3＋(−2)＝1、積は3×(−2)＝−6。x²−(和)x＋(積)＝0より、x²−x−6＝0になる。
単元のポイント
- 判別式（新しいタブで開きます） D＝b²−4ac。符号で二次方程式の解の種類がわかる
- 解と係数の関係 α＋β＝−b/a、αβ＝c/a（ax²＋bx＋c＝0の2つの解がα,β）
- 対称式 α＋βやαβのように、αとβを入れ替えても変わらない式