集合と集合の演算
ゾウ先生ベン図を描くと、集合どうしの関係がひと目でわかるよ。
30秒でつかむ
- ものの集まりを集合という。要素aが集合Aに入っていることを、a∈Aと書く。
- AとBどちらにも入る要素の集合が共通部分A∩B、どちらかに入る要素の集合が和集合A∪B。
- 全体集合Uのうち、Aに入らない要素の集合がAの補集合。ド・モルガンの法則で和集合・共通部分と補集合を入れかえられる。
詳しく
公式
ものの集まりを集合といい、集合に入っているものを要素という。要素が集合に入っていることをと書く。
の要素がすべてにも入っているとき、はの部分集合という。記号ではと書く。
とどちらにも入る要素の集合を共通部分という。どちらか一方に入る要素の集合は和集合という。全体集合のうちに入らない要素の集合を、の補集合という。
例題
例題：10以下の自然数のうち、偶数の集合を、3の倍数の集合をとする。とを求めよう。
、なので、どちらにも入るだけが共通部分。になる。
和集合は、かの少なくとも一方に入る数をまとめた集合のこと。になる。
全体集合をとする。の補集合はになる。
なぜそうなるか
ド・モルガンの法則には2つの等式がある。1つは。もう1つは。
「AまたはBに入らない」は「Aに入らない、かつBに入らない」と同じ意味になる。ベン図で補集合を塗り分けると、両方が同じ範囲になることが確かめられる。
この考え方は、「すべてのAがBである」という命題を、補集合を使って言いかえるときにも役に立つ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/sets-and-set-operations/?from=print#quiz
10以下の自然数で、偶数の集合A＝{2,4,6,8,10}、3の倍数の集合B＝{3,6,9}とする。A∩Bはどれか。
- ◯ {3,6,9}
- ◯ {2,3,4,6,8,9,10}
- ◯ {2,4,6,8,10}
- ◯ {6}
正解：{6}
AとBのどちらにも入っている数は6だけなので、A∩B＝{6}。A＝{2,4,6,8,10}、B＝{3,6,9}とする。A∪Bはどれか。
- ◯ {2,4,6,8,10}
- ◯ {2,3,4,6,8,9,10}
- ◯ {6}
- ◯ {3,6,9}
正解：{2,3,4,6,8,9,10}
AかBの少なくとも一方に入っている数を全部集めると、A∪B＝{2,3,4,6,8,9,10}。全体集合をU＝{1,2,…,10}、A＝{2,4,6,8,10}とする。Aの補集合はどれか。
- ◯ {1,2,3,5,7,9}
- ◯ {1,3,5,7,9,10}
- ◯ {2,4,6,8,10}
- ◯ {1,3,5,7,9}
正解：{1,3,5,7,9}
Uのうち、Aに入らない数を集めると、Aの補集合は{1,3,5,7,9}。ド・モルガンの法則で、「AとBの和集合」の補集合と同じ範囲になるのはどれか。
- ◯ AとBの共通部分の補集合
- ◯ Aの補集合とBの補集合の和集合
- ◯ Aの補集合とBの補集合の共通部分
- ◯ AとBの和集合
正解：Aの補集合とBの補集合の共通部分
(A∪B)の補集合は、AにもBにも入らない範囲。これは「Aの補集合」と「Bの補集合」の共通部分と同じ範囲になる。
単元のポイント
- 集合 ものの集まり。入っているものを要素という
- 部分集合 Aの要素がすべてBにも入っているとき、AはBの部分集合（A⊂B）
- 共通部分 AとBどちらにも入る要素の集合。A∩Bと書く
- 和集合 AかBの少なくとも一方に入る要素の集合。A∪Bと書く
- 補集合 全体集合Uのうち、Aに入らない要素の集合