式(しき)の展開(てんかい)と因数分解(いんすうぶんかい)（たすき掛(が)け）

$(ax+b)(cx+d)$を展開(てんかい)するには、分配法則(ぶんぱいほうそく)を2回(かい)使(つか)う。まず$ax$と$cx$をかけ、残(のこ)りの項(こう)も順(じゅん)にかけて合計(ごうけい)する。

展開(てんかい)した結果(けっか)は$\mathbf{acx^2+(ad+bc)x+bd}$になる。中学(ちゅうがく)の乗法公式(じょうほうこうしき)（新しいタブで開きます）の仲間(なかま)だが、$x^2$の係数(けいすう)が1でない点(てん)が新(あたら)しい。

たすき掛(が)けは、この展開(てんかい)の逆(ぎゃく)の計算(けいさん)。かけて$ac$になる2数(かず)とかけて$bd$になる2数(かず)の組(くみ)を探(さが)し、交差(こうさ)してかけた和(わ)が中央(ちゅうおう)の項(こう)になる組(くみ)を見(み)つける。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)：$3x^2+7x+2$をたすき掛(が)けで因数分解(いんすうぶんかい)（新しいタブで開きます）しよう。かけて$3$になる2数(かず)、かけて$2$になる2数(かず)の組(くみ)を考(かんが)える。

$3$は$3\times1$、$2$は$1\times2$の組(くみ)を使(つか)う。交差(こうさ)してかけた和(わ)が$3\times2+1\times1=7$になる組(くみ)を探(さが)すと合(あ)う。

だから$3x^2+7x+2=\mathbf{(3x+1)(x+2)}$になる。展開(てんかい)して確(たし)かめると$3x^2+6x+x+2=3x^2+7x+2$で一致(いっち)する。

2種類(しゅるい)の文字(もじ)を含(ふく)む式(しき)は、一(ひと)つの文字(もじ)に着目(ちゃくもく)して整理(せいり)するとよい。$x^2+2xy+y^2-4$を$x$について整理(せいり)すると$x^2+2y\,x+(y+2)(y-2)$。かけて$(y+2)(y-2)$、足(た)して$2y$になる組(くみ)は$y+2$と$y-2$。よって$\mathbf{(x+y+2)(x+y-2)}$に因数分解(いんすうぶんかい)できる。

式(しき)の一部(いちぶ)をひとまとまりとみて1つの文字(もじ)に置(お)き換(か)えると、二次(にじ)式(しき)として因数分解(いんすうぶんかい)できることも多(おお)い。例題(れいだい)：$(x^2+1)^2-5(x^2+1)+6$を因数分解(いんすうぶんかい)しよう。$x^2+1=A$と置(お)くと$A^2-5A+6=(A-2)(A-3)$になる。$A$をもとに戻(もど)すと$(x^2-1)(x^2-2)$。$x^2-1$はさらに分(わ)けられる。答(こた)えは$\mathbf{(x+1)(x-1)(x^2-2)}$になる。

（押すと拡大して表示します）

たすき掛(が)けで探(さが)す2組(くみ)の数(かず)が展開(てんかい)した式(しき)の係数(けいすう)と対応(たいおう)するのは、分配法則(ぶんぱいほうそく)をそのまま逆(ぎゃく)にたどっているから。

$acx^2+(ad+bc)x+bd$の$ac$と$bd$を分(わ)ける。交差(こうさ)してかけた和(わ)$ad+bc$が中央(ちゅうおう)の項(こう)に戻(もど)る。

式(しき)を一(ひと)つの文字(もじ)に置(お)き換(か)えるのは、見(み)た目(め)を単純(たんじゅん)にして、すでに知(し)っている因数分解(いんすうぶんかい)の形(かたち)に当(あ)てはめやすくするためだ。