命題(めいだい)と条件(じょうけん)

正(ただ)しいか正(ただ)しくないかが決(き)まる文(ぶん)を命題(めいだい)という。正(ただ)しければ真(ま)、正(ただ)しくなければ偽(ぎ)で、反例(はんれい)が1つでも見(み)つかれば偽(ぎ)だとわかる。

命題(めいだい)「$p\rightarrow q$」が真(しん)のとき、$q$は$p$の必要(ひつよう)条件(じょうけん)という。$p$は$q$の十分(じゅうぶん)条件(じょうけん)という。両方(りょうほう)成(な)り立(た)てば必要(ひつよう)十分(じゅうぶん)条件(じょうけん)。たとえば「$x=3$」は「$x^2=9$」の十分(じゅうぶん)条件(じょうけん)だが必要(ひつよう)条件(じょうけん)ではない。$x=-3$でも$x^2=9$になるからだ。

命題(めいだい)「$p\rightarrow q$」に対(たい)し、逆(ぎゃく)は「$q\rightarrow p$」。裏(うら)は「$\overline{p}\rightarrow\overline{q}$」。対偶(たいぐう)は「$\overline{q}\rightarrow\overline{p}$」。対偶(たいぐう)は元(もと)の命題(めいだい)と真偽(しんぎ)が一致(いっち)する。

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例題(れいだい)：命題(めいだい)「$x>2$ならば$x>0$である」の真偽(しんぎ)を、集合(しゅうごう)で確(たし)かめよう。

$A=\{x\mid x>2\}$、$B=\{x\mid x>0\}$とする。数直線上(すうちょくせんじょう)で$A\subset B$になっている。命題(めいだい)は真(しん)で、$x>0$は$x>2$の必要(ひつよう)条件(じょうけん)になる。

例題(れいだい)：整数(せいすう)$n$について、「$n^2$が偶数(ぐうすう)ならば$n$は偶数(ぐうすう)である」を対偶(たいぐう)を利用(りよう)して証明(しょうめい)しよう。対偶(たいぐう)は「$n$が奇数(きすう)ならば$n^2$は奇数(きすう)である」。

$n$が奇数(きすう)なら、整数(せいすう)$k$を使(つか)って$n=2k+1$と書(か)ける。$n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$なので、$n^2$も奇数(きすう)になる。対偶(たいぐう)が真(しん)だから、もとの命題(めいだい)も真(しん)だといえる。

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対偶(たいぐう)を利用(りよう)した証明(しょうめい)が成(な)り立(た)つのは、命題(めいだい)と対偶(たいぐう)の真偽(しんぎ)が必(かなら)ず一致(いっち)するからだ。命題(めいだい)が真(しん)なら対偶(たいぐう)も真(しん)、命題(めいだい)が偽(ぎ)なら対偶(たいぐう)も偽(ぎ)になる。

直接(ちょくせつ)証明(しょうめい)しにくい命題(めいだい)でも、対偶(たいぐう)の形(かたち)にすると仮定(かてい)が扱(あつか)いやすくなることがある。

背理法(はいりほう)は、結論(けつろん)が成(な)り立(た)たないと仮定(かてい)して矛盾(むじゅん)を導(みちび)き、もとの結論(けつろん)が正(ただ)しいと示(しめ)す方法(ほうほう)。$\sqrt{2}$が無理数(むりすう)であることなどの証明(しょうめい)に使(つか)われる。