平方根(へいほうこん)の意味(いみ)と大小(だいしょう)

$x^2=a$（$a>0$）を成(な)り立(た)たせるxの値(あたい)を、aの平方根(へいほうこん)という。正(せい)の数(すう)aの平方根(へいほうこん)には、正(せい)と負(ふ)の2つがある。

正(せい)の方(ほう)を$\mathbf{\sqrt{a}}$、負(ふ)の方(ほう)を$\mathbf{-\sqrt{a}}$と書(か)く。√は新(あたら)しい数(かず)を表(あらわ)す記号(きごう)で、円周率(えんしゅうりつ)をπで表(あらわ)すのと同(おな)じ考(かんが)え方(かた)だ。

0の平方根(へいほうこん)は0だけ。負(ふ)の数(すう)の平方根(へいほうこん)は、2乗(じょう)して負(ふ)になる数(かず)が無(な)いので、中学(ちゅうがく)の範囲(はんい)では考(かんが)えない。

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例題(れいだい)：$\sqrt{2}$はどれくらいの大(おお)きさか、整数(せいすう)と小数(しょうすう)で確(たし)かめよう。

$1^2=1$、$2^2=4$なので、$1<\sqrt{2}<2$とわかる。もう少(すこ)し細(こま)かく見(み)るため、$1.4^2=1.96$、$1.5^2=2.25$を計算(けいさん)する。

$1.96<2<2.25$なので、$\mathbf{1.4<\sqrt{2}<1.5}$。このように、2乗(じょう)した値(あたい)をものさしにして大(おお)きさを比(くら)べられる。

$\sqrt{2}$のような数(かず)は、分数(ぶんすう)で正確(せいかく)に表(あらわ)せない。このような数(かず)を無理数(むりすう)という。

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1辺(へん)の長(なが)さが1mの正方形(せいほうけい)の対角(たいかく)（新しいタブで開きます）線(せん)の長(なが)さのように、これまでの数(かず)（有理数(ゆうりすう)）では表(あらわ)せない量(りょう)がある。

$x^2=2$を成(な)り立(た)たせるxは、分数(ぶんすう)では正確(せいかく)に表(あらわ)せない。このような数(かず)を表(あらわ)すために、記号(きごう)√が導入(どうにゅう)された。

正(せい)の数(すう)aを2乗(じょう)した数(かず)は必(かなら)ず正(せい)になるので、$x^2=a$を満(み)たすxは正(せい)と負(ふ)の2つ。これがaの平方根(へいほうこん)が2つある理由(りゆう)だ。

負(ふ)の数(すう)は2乗(じょう)しても負(ふ)にならないので、2乗(じょう)して負(ふ)の数(すう)になるxは存在(そんざい)しない。だから負(ふ)の数(すう)の平方根(へいほうこん)は考(かんが)えない。