根号(こんごう)を含(ふく)む式(しき)の乗法(じょうほう)と除法(じょほう)

正(せい)の数(すう)a、bについて、$\mathbf{\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$、$\mathbf{\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{a\div b}}$が成(な)り立(た)つ。

根号(こんごう)の中(なか)に2乗(じょう)の因数(いんすう)があれば、外(そと)に出(だ)して簡単(かんたん)にできる。$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$（aは正(せい)の数(すう)）。

分母(ぶんぼ)に√が残(のこ)っているときは、分母(ぶんぼ)と分子(ぶんし)に同(おな)じ√をかけて有理化(ゆうりか)する。$\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}$になる。

例題(れいだい)：$\sqrt{2}\times\sqrt{8}$と$\sqrt{18}\div\sqrt{2}$を計算(けいさん)しよう。

$\sqrt{2}\times\sqrt{8}$は、$\sqrt{2\times8}=\sqrt{16}$。16は$4^2$なので、根号(こんごう)がはずれて4になる。

$\sqrt{18}\div\sqrt{2}$は、$\sqrt{18\div2}=\sqrt{9}$。9は$3^2$なので、根号(こんごう)がはずれて3になる。

先(さき)に根号(こんごう)の中(なか)をまとめてから、2乗(じょう)の数(かず)になっているかを確(たし)かめると計算(けいさん)が早(はや)い。

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$\sqrt{a}\times\sqrt{b}$を2乗(じょう)すると、$(\sqrt{a}\times\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2\times(\sqrt{b})^2=a\times b$になる。これはabの平方根(へいほうこん)（新しいタブで開きます）の性質(せいしつ)と同(おな)じなので、$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$が成(な)り立(た)つ。

$\sqrt{a}\div\sqrt{b}$も同(おな)じように、2乗(じょう)すると$a\div b$になることから、$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{a\div b}$が成(な)り立(た)つとわかる。

分母(ぶんぼ)に$\sqrt{a}$が残(のこ)っていると、小数(しょうすう)に直(なお)すときの計算(けいさん)が複雑(ふくざつ)になる。分母(ぶんぼ)と分子(ぶんし)に$\sqrt{a}$をかけて、$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$とすれば、分母(ぶんぼ)が有理数(ゆうりすう)になって扱(あつか)いやすくなる。

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