三角形の合同条件と証明
ゾウ先生証明は「仮定→根拠→結論」の順。合同条件は根拠として使う道具だと考えよう。
30秒でつかむ
- 三角形の合同条件は3つ。3組の辺が等しい、2組の辺と、その間にある角が等しい、1組の辺と、その両端にある角がそれぞれ等しい、のいずれかを確かめれば合同とわかる。
- 証明は、わかっていること（仮定）から、示したいこと（結論）を、根拠を示しながら導く文章だ。
- 合同条件や対頂角（新しいタブで開きます）の性質、平行線の性質は、証明の根拠として使える。
詳しく
公式
2つの三角形は、次のどれかが成り立てば合同になる。①3組の辺がそれぞれ等しい。②2組の辺と、その間にある角がそれぞれ等しい。③1組の辺と、その両端にある2つの角がそれぞれ等しい。
この3つを三角形の合同条件という。6組ある辺と角のうち、この組み合わせだけ確かめれば十分だ。
証明は、仮定・根拠・結論の3つで組み立てる。仮定から出発し、合同条件などの根拠を示しながら、結論にたどり着く。
例題
例題：2本の線分AB、CDが点Oで交わり、AO＝BO、CO＝DOのとき、△AOC≡△BODを証明しよう。
仮定は「AO＝BO、CO＝DO」。結論は「△AOC≡△BOD」。
対頂角は等しいので∠AOC＝∠BOD。これと仮定の2組の辺を合わせると、「2組の辺と、その間にある角がそれぞれ等しい」が根拠になり、△AOC≡△BODが示せる。
なぜそうなるか
三角形は、辺3つ・角3つの計6個の情報のうち3つが決まると、形と大きさがちょうど1つに決まる。
だから、6個すべてを調べなくても、3辺・2辺とその間の角・1辺とその両端にある角のどれかが等しければ、合同だと判定できる。
証明で対頂角や平行線の性質を根拠に使えるのは、それらがすでに正しいと確かめられているからだ。
積み重ねた根拠から新しい結論を導く。この積み重ねが、図形の性質を調べる証明の基本の形になる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/triangle-congruence-conditions/?from=print#quiz
2つの三角形で、対応する3組の辺がそれぞれ等しいとわかっているとき使える合同条件はどれか。
- ◯ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
- ◯ 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- ◯ 3組の角がそれぞれ等しい
- ◯ 3組の辺がそれぞれ等しい
正解：3組の辺がそれぞれ等しい
対応する3組の辺がそれぞれ等しければ、2つの三角形は合同になる（3辺がそれぞれ等しい）。2組の辺の長さが等しく、その間の角の大きさも等しいとき使える合同条件はどれか。
- ◯ 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- ◯ 3組の辺がそれぞれ等しい
- ◯ 直角と斜辺が等しい
- ◯ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
正解：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しければ、2つの三角形は合同になる。三角形の3つの内角のうち2つが50°と70°のとき、残りの角は何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：60
三角形の内角の和（新しいタブで開きます）は180°。180から50と70を引くと、残りの角がわかる。証明で、「AO＝BO、CO＝DOならば、△AOC≡△BODである」というとき、「AO＝BO、CO＝DO」にあたる部分はどれか。
- ◯ 根拠
- ◯ 結論
- ◯ 仮定
- ◯ 逆
正解：仮定
証明は仮定から結論を導く。「〜ならば」の前（すでにわかっている条件）が仮定で、うしろが結論になる。2つの三角形が合同であるとわかったとき、そこから必ずいえることはどれか。
- ◯ 必ず相似にもなる
- ◯ 周の長さだけが等しい
- ◯ 面積は等しいが辺は等しくない
- ◯ 対応する辺と角がそれぞれ等しい
正解：対応する辺と角がそれぞれ等しい
合同な図形は、対応する辺の長さと対応する角の大きさが、それぞれすべて等しい。
単元のポイント
- 合同 形も大きさも同じ図形どうしの関係
- 合同条件 三角形が合同だと判定するための3つの条件
- 仮定 証明で、はじめにわかっている条件
- 結論 証明で、最後に示したいこと
- 証明 仮定から結論を、根拠を示しながら導く文章