多角形の内角の和と外角の和
ゾウ先生対角線で三角形に切り分けると、内角の和の公式が自分で作れるようになる。
30秒でつかむ
- 多角形をいくつかの三角形に分けると、内角の和は180×(n−2)で求められる（nは頂点の数）。
- 多角形の外角の和は、辺の数に関係なくいつも360°になる。一周してもとの向きに戻るからだ。
- 正n角形は内角も外角もすべて等しいので、1つの外角は360÷n、1つの内角は180−360/nで求まる。
詳しく
公式
n角形の内角の和は 180×(n−2)° で求められる。1つの頂点から対角（新しいタブで開きます）線を引くと、n−2個の三角形に分けられる。
多角形の外角の和は、辺の数に関係なくいつも360°。1つの頂点での内角と外角の和は180°だ。
正n角形は角がすべて等しいので、1つの外角は360/n°、1つの内角は180−360/n°になる。
例題
例題：六角形の内角の和と、正六角形の1つの内角を求めよう。
六角形はn＝6なので、内角の和は180×(6−2)＝720°になる。
正六角形は角がすべて等しいので、1つの内角は720÷6＝120°。1つの外角は360÷6＝60°だ。
なぜそうなるか
多角形の1つの頂点から対角線をすべて引くと、n角形はn−2個の三角形に分けられる。
三角形の内角の和はどれも180°なので、n角形の内角の和は180×(n−2)°になる。
外角は、辺にそって多角形の周りを1周したときに向きが変わる角。1周すればちょうど1回転するから、外角の和はいつも360°だ。
だから、外角の和は三角形でも百角形でも変わらず、360°のままになる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/polygon-angle-sums/?from=print#quiz
七角形の内角の和は何度か。
- ◯ 700°
- ◯ 800°
- ◯ 900°
- ◯ 1000°
正解：900°
多角形の内角の和は180×(n−2)。七角形はn＝7なので、180×5＝900°。正十二角形の1つの外角は何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：30
多角形の外角の和はいつも360°。正十二角形は12個の外角が等しいので、360÷12＝30°。正九角形の1つの内角は何度か。
- ◯ 120°
- ◯ 140°
- ◯ 150°
- ◯ 160°
正解：140°
1つの外角は360÷9＝40°。内角と外角の和は180°だから、内角は180−40＝140°になる。内角の和が1440°になる多角形は何角形か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：10
180×(n−2)＝1440 を解くと、n−2＝8、n＝10。十角形になる。多角形の外角の和が、辺の数に関係なくいつも360°になる理由はどれか。
- ◯ 内角がいつも等しいから
- ◯ 辺の長さが同じだから
- ◯ 三角形に分けられるから
- ◯ ひと回りすると、ちょうど1回転するから
正解：ひと回りすると、ちょうど1回転するから
どの頂点でも外角は進む方向を変える角。多角形の辺をひと回りすると、ちょうど1回転分だけ向きが変わる。
単元のポイント
- 内角 多角形の内側にできる角
- 外角 1つの辺とその頂点でとなりの辺を延長した辺がつくる角
- 多角形の内角の和 180×(n−2)°（nは頂点の数）
- 多角形の外角の和 いつも360°
- 正多角形 辺の長さと角の大きさがすべて等しい多角形