積分法の確認問題

Question 1

半径aのサイクロイドx＝a(θ－sinθ)、y＝a(1－cosθ)（0≦θ≦2π）の1アーチと x軸で囲まれた面積は3πa²になる。a＝1のときの面積を求めよ。

Accepted Answer

3π

Question 2

2つの曲線で囲まれた図形の面積を求める手順を、正しい順に並べよ。

Accepted Answer

交点のx座標を求める → どちらの関数が上にあるか確かめる → 上－下の式を定積分する → 値を求めて面積とする

Question 3

y＝x＋2とy＝x²で囲まれた図形の面積を求めよ。

Accepted Answer

9/2

Question 4

区間a≦x≦bでつねにf(x)≧g(x)のとき、2つの曲線y＝f(x)とy＝g(x)で囲まれた図形の面積Sを表す式として正しいものはどれか。

Accepted Answer

S＝∫ₐᵇ{f(x)－g(x)}dx

Answer

S＝∫ₐᵇ{f(x)＋g(x)}dx

Answer

S＝∫ₐᵇf(x)dx

Answer

S＝∫ₐᵇg(x)dx

Question 5

曲線$y=\dfrac{2}{3}x^{3/2}$の0≦x≦3の部分の長さを求めよ。

Accepted Answer

14/3

Question 6

数直線上を動く点Pの速度がv(t)＝2t－4（0≦t≦3）のとき、t＝0からt＝3までの点Pの位置の変化（変位）を求めよ。

Accepted Answer

-3

Question 7

数直線上を動く点Pの速度がv(t)＝2t－4（0≦t≦3）のとき、t＝0からt＝3までの点Pの道のりを求めよ。

Accepted Answer

5

Question 8

曲線y＝f(x)の区間a≦x≦bの部分の長さLを表す式として正しいものはどれか。

Accepted Answer

L＝∫ₐᵇ√(1＋{f'(x)}²)dx

Answer

L＝∫ₐᵇf'(x)dx

Answer

L＝∫ₐᵇ|f(x)|dx

Answer

L＝∫ₐᵇ{f'(x)}²dx

Question 9

部分積分法の公式として正しいものはどれか。

Accepted Answer

∫fg'dx＝fg－∫f'gdx

Answer

∫fg'dx＝f'g'－∫fgdx

Answer

∫fg'dx＝fg

Answer

∫fg'dx＝fg＋∫f'gdx

Question 10

∫x eˣdxを部分積分法で求める手順を、正しい順に並べよ。

Accepted Answer

f＝x、g'＝eˣと決める → f'＝1、g＝eˣを求める → x eˣ－∫1×eˣdxの形にする → eˣを積分して答えをまとめる

Question 11

∫x eˣdxをf＝x、g'＝eˣと置いて部分積分法を使うのがよい理由はどれか。

Accepted Answer

xは微分すると1になり、1回の部分積分法で終わるから

Answer

xとeˣはどちらを選んでも同じ手間だから

Answer

eˣは微分すると0になるから

Answer

部分積分法では順番を選べないから

Question 12

∫x cos xdxを部分積分法で求めるとき、f＝x、g'＝cos xと置いた結果として正しいものはどれか。

Accepted Answer

x sin x＋cos x＋C

Answer

x cos x＋sin x＋C

Answer

x sin x－cos x＋C

Answer

x sin x＋C

Question 13

∫(2x－1)³dxの不定積分として正しいものはどれか。

Accepted Answer

(2x－1)⁴／8＋C

Answer

(2x－1)³／3＋C

Answer

(2x－1)⁴／4＋C

Answer

(2x－1)⁴＋C

Question 14

∫(3x－2)⁴dxを置換積分法で求めるとき、適切な置き方はどれか。

Accepted Answer

t＝3x－2

Answer

t＝(3x－2)⁴

Answer

t＝x⁴

Answer

t＝3x⁴

Question 15

∫(5x＋1)²dxを置換積分法で求める手順を、正しい順に並べよ。

Accepted Answer

t＝5x＋1と置く → dt＝5dxを作る → ∫t²×(dt／5)の形にする → 積分してtを5x＋1に戻す

Question 16

t＝ax＋bと置いたとき、dxをdtで表すとどうなるか（aは0でない定数）。

Accepted Answer

dx＝dt／a

Answer

dx＝a dt

Answer

dx＝dt

Answer

dx＝dt－b

Question 17

区間0≦x≦1でつねに0≦sin x≦xが成り立つとき、∫₀¹sin xdxと∫₀¹xdxの大小関係として正しいものはどれか。

Accepted Answer

∫₀¹sin xdx≦∫₀¹xdx

Answer

大小は決まらない

Answer

∫₀¹sin xdx＝∫₀¹xdx

Answer

∫₀¹sin xdx≧∫₀¹xdx

Question 18

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^3$を定積分に直して求めよ。

Accepted Answer

1/4

Question 19

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2$を定積分に直して求めよ。

Accepted Answer

1/3

Question 20

区分求積法で定積分を求める考え方を、正しい順に並べよ。

Accepted Answer

区間をn個の長方形に分ける → 長方形の面積の合計を作る → n→∞で幅を0に近づける → 合計が定積分の値に近づく

Question 21

f(x)＝2cos x＋3／xの不定積分として正しいものはどれか。

Accepted Answer

2sin x＋3log|x|＋C

Answer

2cos x＋3log|x|＋C（積分していない項が残る）

Answer

－2sin x＋3log|x|＋C

Answer

2sin x＋3x²／2＋C

Question 22

f(x)＝4eˣの不定積分として正しいものはどれか。

Accepted Answer

4eˣ＋C

Answer

4eˣ／x＋C

Answer

4xeˣ＋C

Answer

4eˣ

Question 23

f(x)＝5／xの不定積分として正しいものはどれか。

Accepted Answer

5log|x|＋C

Answer

5x＋C

Answer

5／(2x²)＋C

Answer

5log x＋C（xが負でも使える）

Question 24

f(x)＝3sin x－2cos xの不定積分として正しいものはどれか。

Accepted Answer

－3cos x－2sin x＋C

Answer

3cos x－2sin x＋C

Answer

－3cos x＋2sin x＋C

Answer

3cos x＋2sin x＋C

Question 25

x軸に垂直な断面が辺の長さxの正方形になっている立体が、0≦x≦2の範囲にある。この立体の体積を求めよ。

Accepted Answer

8/3

Question 26

曲線y＝f(x)とx軸で囲まれた図形を、区間a≦x≦bでx軸の回りに1回転させてできる立体の体積Vを表す式はどれか。

Accepted Answer

V＝π∫ₐᵇ{f(x)}²dx

Answer

V＝2π∫ₐᵇf(x)dx

Answer

V＝π∫ₐᵇf(x)dx

Answer

V＝∫ₐᵇf(x)dx

Question 27

回転体の体積を求める手順を、正しい順に並べよ。

Accepted Answer

回転させる図形と軸を確かめる → 断面の半径をf(x)で表す → π{f(x)}²を定積分する → 体積の値を求める

Question 28

y＝√xとx軸、直線x＝4で囲まれた図形をx軸の回りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

Accepted Answer

8π

積分法の確認問題

用語カード