媒介(ばいかい)変数(へんすう)表示(ひょうじ)

平面上(へいめんじょう)の曲線上(きょくせんじょう)の点(てん)(x,y)を、別(べつ)の変数(へんすう)tを使(つか)って$x=f(t)$、$y=g(t)$の形(かたち)に表(あらわ)すことがある。

この表(あらわ)し方(かた)を曲線(きょくせん)の媒介(ばいかい)変数(へんすう)表示(ひょうじ)といい、変数(へんすう)tを媒介(ばいかい)変数(へんすう)という。

x,yは別々(べつべつ)に動(うご)くのではなく、tの値(あたい)を1つ決(き)めればx,yの組(くみ)も1つに決(き)まる関係(かんけい)になっている。

放物線(ほうぶつせん)（新しいタブで開きます）や楕円(だえん)（新しいタブで開きます）も媒介(ばいかい)変数(へんすう)表示(ひょうじ)できるが、円(えん)が転(ころ)がる軌跡(きせき)のように媒介(ばいかい)変数(へんすう)でしか表(あらわ)しにくい曲線(きょくせん)もある。

半径(はんけい)aの円(えん)が直線上(ちょくせんじょう)をすべらずにθだけ回転(かいてん)すると、円(えん)の中心(ちゅうしん)はx軸(じく)方向(ほうこう)にaθだけ進(すす)む。

このとき円周上(えんしゅうじょう)のある1点(てん)が描(えが)く軌跡(きせき)は$x=a(\theta-\sin\theta)$、$y=a(1-\cos\theta)$になる。

これをサイクロイド曲線(きょくせん)という。

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例題(れいだい)：$x=2t$、$y=t^2+1$で表(あらわ)される曲線(きょくせん)について、tを消去(しょうきょ)した式(しき)を求(もと)めよ。

$x=2t$より$t=\frac{x}{2}$になる。

これを$y=t^2+1$に代入(だいにゅう)すると$y=\left(\frac{x}{2}\right)^2+1$になる。

整理(せいり)すると$y=\frac{1}{4}x^2+1$になり、放物線(ほうぶつせん)を表(あらわ)す式(しき)になる。

サイクロイド曲線(きょくせん)で、θ＝πのときに円(えん)がどこまで転(ころ)がったかを見(み)てみよう。

円(えん)の中心(ちゅうしん)はx軸(じく)方向(ほうこう)に$a\theta=a\pi$だけ進(すす)んでいる。

このときの円周上(えんしゅうじょう)の点(てん)のy座標(ざひょう)は$y=a(1-\cos\pi)=a(1-(-1))=2a$になる。

cosθ＝−1なので、yは円(えん)の直径(ちょっけい)と同(おな)じ2aまで上(あ)がる、というわけだ。

これは、円(えん)がちょうど半(はん)回転(かいてん)して、出発(しゅっぱつ)点(てん)の点(てん)が円(えん)の真上(まうえ)に来(き)た状態(じょうたい)にあたる。

θ＝0や2πのときはy＝0になり、点(てん)が地面(じめん)に接(せっ)する瞬間(しゅんかん)を表(あらわ)している。

このサイクロイド曲線(きょくせん)は、転(ころ)がり落(お)ちる時間(じかん)が最(もっと)も短(みじか)い曲線(きょくせん)としても有名(ゆうめい)だ。

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