自転車シェアリングの台数配分
ゾウ先生割合が変わらなければ、台数はどこから始めても同じ値に近づいていく。
30秒でつかむ
- 自転車シェアリングでは、ポート間を移動する自転車の割合を使い、台数の変化を漸化式（新しいタブで開きます）で表せる。
- ある日のA港の台数をaₙとすると、aₙ₊₁＝40−0.1aₙという1次の漸化式になる。
- この割合が変わらない限り、A港の台数は何台から始めても、同じ値に近づいていく。
詳しく
公式
2つの駐輪ポートA・B間で自転車を借り、返すシェアリングを考える。
A港で借りた自転車のうち30%がA港へ、70%がB港へ返却される。B港で借りた自転車は40%がA港へ、60%がB港へ返る。
全体の台数を100台とし、n日目のA港の台数をaₙとすると、B港の台数は100−aₙだ。
次の日のA港の台数は、aₙ₊₁＝0.3aₙ＋0.4(100−aₙ)＝40−0.1aₙという漸化式になる。
例題
例題：すべての自転車がA港にある日を0日目とする。a₀＝100、b₀＝0だ。
1日目のA港の台数は、a₁＝40−0.1×100＝30だ。A港に30台、B港に70台になる。
2日目は、a₂＝40−0.1×30＝37だ。A港の台数は37台まで増える。
B港の台数は、100−a₁＝100−30＝70だ。A港が減った分、B港が増えている。
なぜそうなるか
A港の台数はなぜ毎日変わるのに、やがて同じ値に近づくのか。
漸化式aₙ₊₁＝40−0.1aₙで、aₙに掛かる係数0.1が1より小さいからだ。
変化の幅が毎回0.1倍に縮むので、何台から始めても、台数はα＝40−0.1αを満たす一定の値（約36台）に近づく。
これは隣り合う2つの状態を行き来する考え方で、交通やネットワークの台数配分にも使われる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/bike-sharing-recurrence-model/?from=print#quiz
a₀＝100から始めたとき、漸化式aₙ₊₁＝40−0.1aₙを使って、1日目のA港の台数a₁を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：30
a₁＝40−0.1×100＝30台。同じ漸化式で、2日目のA港の台数a₂を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：37
a₂＝40−0.1×30＝37台。全体の台数が100台のとき、1日目のB港の台数b₁を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：70
b₁＝100−a₁＝100−30＝70台。この漸化式を日を重ねて繰り返すと、A港の台数はどうなっていくか。
- ◯ 30台と70台を交互に繰り返す
- ◯ ある一定の値（約36台）に近づく
- ◯ 0台に近づく
- ◯ 増え続けて100台に近づく
正解：ある一定の値（約36台）に近づく
係数0.1の大きさが1より小さいため、どこから始めてもα＝40−0.1αを満たす一定の値に近づく。
単元のポイント
- 割合 ある地点から別の地点へ移動する自転車の割合
- 漸化式（新しいタブで開きます） 前の日の台数から、次の日の台数を決める式
- 一定の値に近づく 割合が変わらなければ、台数はやがて落ち着く