定積分と面積
ゾウ先生上と下、どちらから引くのかを図で確かめてから積分しよう。
30秒でつかむ
- 区間でf(x)≤0のとき、∫f(x)dxの値は負になるので、面積はその値の符号を変えて求める。
- 上側のグラフから下側のグラフを引いて積分すると、2つのグラフにはさまれた部分の面積になる。
- 放物線（新しいタブで開きます）とみなせる図形は、座標を設定して式を求めれば、定積分（新しいタブで開きます）で面積を求められる。
詳しく
公式
前のページでは、定積分∫ₐᵇf(x)dxがy＝f(x)のグラフとx軸にはさまれた面積を表すことを学んだ。ここでは、いろいろな形の面積の求め方を見ていこう。
区間a≦x≦bでf(x)≥0のとき、面積Sはになる。
一方、区間でf(x)≤0のときは、∫ₐᵇf(x)dxの値そのものが負になる。面積は負にならないので、のように符号を変えて求めればよい。
例えば、は−2≦x≦2でつねにf(x)≤0になる。と負の値になるので、この部分の面積はだ。
さらに、2つのグラフにはさまれた部分の面積も定積分で求められる。y＝f(x)のグラフがy＝g(x)のグラフより上にある区間a≦x≦bを考える。面積Sはになる。
例題
例題：放物線と直線で囲まれた部分の面積を求めよ。
まず交点を求める。より、なので、が交点のx座標だ。
区間−1≦x≦2では直線の方が上にある（x＝0で比べると直線は1、放物線は−1）。面積Sはになる。
計算するとになるので、囲まれた部分の面積はだ。
なぜそうなるか
なぜ座標を設定すれば、窓のような実物の面積も定積分で求められるのか。左右対称な形は、対称の軸をy軸、底をx軸に置くと、放物線の式で表せるからだ。
例えば、幅2m・高さ1mの左右対称な窓は、底の真ん中を原点にすると、（−1≦x≦1）という式になる。
この面積Sはで求められ、計算すると（m²）になる。
このように、形に合わせて座標をうまく設定すれば、放物線とみなせる実物の面積も、定積分を使って求められる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/definite-integrals-and-area/?from=print#quiz
f(x)＝x²−9について、区間−3≦x≦3でy＝f(x)のグラフとx軸にはさまれた部分の面積を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：36
この区間ではf(x)≤0なので、∫₋₃³(x²−9)dx＝−36と負の値になる。面積はその符号を変えて36になる。放物線y＝x²と直線y＝2xで囲まれた部分の面積を求める式として正しいものはどれか。
- ◯ ∫₀²(x²−2x)dx
- ◯ ∫₀²(2x−x²)dx
- ◯ ∫₀²2x dx
- ◯ ∫₀²x²dx
正解：∫₀²(2x−x²)dx
交点はx²＝2xよりx＝0,2。区間0≦x≦2では直線の方が上にあるので、面積は∫₀²(2x−x²)dxになる。2つ目は上下を逆にしていて値が負になる。3つ目は放物線（新しいタブで開きます）の分を引いておらず、4つ目は直線の分を引いていない。ある橋の欄干の飾り窓は、放物線とみなせる形で、幅4m・高さ3mの左右対称な形をしている。この飾り窓の面積を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8
底の真ん中を原点にすると、−2≦x≦2でy＝(3/4)(4−x²)という式になる。これを積分すると面積は8（m²）になる。y＝f(x)のグラフがy＝g(x)のグラフより上にある区間a≦x≦bで、2つのグラフに囲まれた部分の面積Sを定積分で表すとどれになるか。
- ◯ S＝∫ₐᵇ{g(x)−f(x)}dx
- ◯ S＝∫ₐᵇ{f(x)−g(x)}dx
- ◯ S＝∫ₐᵇf(x)g(x)dx
- ◯ S＝∫ₐᵇf(x)dx＋∫ₐᵇg(x)dx
正解：S＝∫ₐᵇ{f(x)−g(x)}dx
上のグラフから下のグラフを引いて積分するので、S＝∫ₐᵇ{f(x)−g(x)}dxになる。2つ目は上下を逆にしていて値が負になる。3つ目は引く代わりに足している。4つ目は差ではなく積を積分している。
単元のポイント
- 下側の面積 −∫f(x)dxで正の値にする
- 2つのグラフの面積 上のグラフから下を引いて積分する
- 座標の設定 図形に式を当てはめる工夫