y＝ax²のグラフ
ゾウ先生直線だった一次関数と違い、y＝ax²は曲線。原点を通ることとaの符号をまず確認しよう。
30秒でつかむ
- y＝ax²のグラフは、原点を通り、y軸について線対称な曲線（放物線）になる。
- aが正なら上に開き、aが負なら下に開く。xの値がどちらに動いても、yはaと同じ符号に変化する。
- aの絶対値が大きいほど、グラフはy軸に沿って細くなる（開き方が狭くなる）。
詳しく
公式
y＝ax²（aは0でない定数）のグラフは、原点を通り、y軸について線対称な曲線になる。この曲線を放物線という。
aが正のとき、グラフは上に開く。aが負のとき、グラフは下に開く。
aの絶対値が大きいほど、グラフはy軸に沿って細く、小さいほど横に広がって見える。
例題
例題：y＝2x²とy＝−x²のグラフのようすを調べよう。
y＝2x²は、x＝1, 2, 3のときy＝2, 8, 18。aが正なので、上に開く放物線になる。
y＝−x²は、x＝2のときy＝−4。aが負なので、下に開く放物線になる。
どちらも原点を通り、y軸を折り目にして左右がぴったり重なる形になる。
なぜそうなるか
y＝ax²は、xを−xに置きかえても、(−x)²＝x²でyの値が変わらない。だから、y軸を折り目にして左右対称になる。
xが2乗されているので、xがどちらの方向に動いても、yはaの符号に合わせて増え続ける（またはずっと負のまま増え続ける）。これが、グラフが直線にならず曲線になる理由だ。
比例（新しいタブで開きます）や一次関数のグラフ（新しいタブで開きます）は直線だったが、y＝ax²で初めて式に表せる曲線のグラフが出てくる。グラフの開く方向と開き具合は、比例定数aの符号と絶対値で決まる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/graph-of-y-ax2/?from=print#quiz
y＝3x²のグラフの形はどれか。
- ◯ 原点を通り、上に開く放物線
- ◯ 原点を通り、下に開く放物線
- ◯ 原点を通らない曲線
- ◯ 原点を通る直線
正解：原点を通り、上に開く放物線
aが3で正なので、原点を通り、上に開く放物線になる。原点からx²に比例（新しいタブで開きます）して増える。y＝2x²で、x＝3のときのyの値を、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：18
y＝2x²にx＝3を代入すると、y＝2×3²＝2×9＝18。y＝−x²のグラフの形はどれか。
- ◯ 原点を通り、下に開く放物線
- ◯ x軸に平行な直線
- ◯ 原点を通り、上に開く放物線
- ◯ 原点を通らない放物線
正解：原点を通り、下に開く放物線
aが−1で負なので、原点を通り、下に開く放物線になる。xの値が増えても減っても、yは0以下になる。y＝(1/2)x²で、x＝4のときのyの値を、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8
y＝(1/2)x²にx＝4を代入すると、y＝(1/2)×4²＝(1/2)×16＝8。y＝ax²のグラフで、aの絶対値が大きいほど、グラフはどうなるか。
- ◯ x軸から遠ざかり、太くなる
- ◯ 原点に近づき、細くなる（開き方が狭くなる）
- ◯ y軸と交わらなくなる
- ◯ 直線に近づく
正解：原点に近づき、細くなる（開き方が狭くなる）
同じxに対してyの絶対値が大きくなるので、グラフはy軸に沿って細く、原点に近づくように見える。
単元のポイント
- 放物線 y＝ax²のグラフのような、なめらかな曲線
- 線対称 1本の線を折り目にして、両側がぴったり重なる図形の性質
- 比例定数（新しいタブで開きます） y＝ax²のaのこと。グラフの開く向きと開き方を決める
- 原点 x軸とy軸が交わる点。y＝ax²のグラフは必ずここを通る
- 2乗に比例する関数 xの値がm倍になると、yの値がm²倍になる関数