定積分
ゾウ先生上端と下端を取り違えないよう、F(b)からF(a)を引く順番を声に出して確かめよう。
30秒でつかむ
- 定積分∫ₐᵇf(x)dxは、原始関数（新しいタブで開きます）F(x)を使ってF(b)−F(a)で計算する。aは下端、bは上端という。
- 上端と下端を入れ替えると定積分の値の符号が反転し、区間を2つに分けて足しても同じ値になる。
- 区間a≦x≦tでの面積をS(t)とすると、S′(t)＝f(t)になり、定積分が面積を表すことが導ける。
詳しく
公式
前のページでは、微分すると元の関数になる原始関数と、不定積分を学んだ。ここでは、原始関数を使って区間ごとの値を求める定積分を考えよう。
関数f(x)の原始関数の1つをF(x)とするとき、をf(x)のaからbまでの定積分という。aを下端、bを上端という。
定積分には性質がある。上端と下端を入れ替えると、のように符号が反転する。
また、区間を途中で区切って計算し、あとで足すこともできる。区間a〜bの定積分と区間b〜cの定積分を合わせると、に等しい。上端と下端が同じならで、幅のない区間では面積も0だ。
ほかに、区間を細かく区切った長方形の面積の合計から定積分を定義する区分求積法という考え方もある。細かく区切るほど、長方形の合計はグラフの下の面積に近づく。
例題
例題：の値を求めよ。
原始関数はなので、、になる。
よって、になる。この区間でのf(x)の定積分は18だ。
なぜそうなるか
なぜ定積分が面積を表すのか、図で確かめよう。区間a≦x≦bでf(x)≥0のとき、y＝f(x)のグラフと直線x＝a、x＝t、x軸で囲まれた部分の面積をS(t)とする。
tをほんの少しhだけ増やすと、面積はS(t+h)−S(t)だけ増える。この増えた部分は、幅h・高さがほぼf(t)の長方形とみなせるので、になる。
両辺をhで割ってhを0に近づけると、だ。面積の関数S(t)を微分すると、元の関数f(t)に戻るという意味になる。
この関係とS(a)＝0を使うとが導ける。つまり、定積分∫ₐᵇf(x)dxは、y＝f(x)のグラフとx軸にはさまれた面積を表している。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/definite-integrals/?from=print#quiz
∫₀³(2x＋1)dxの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：12
原始関数（新しいタブで開きます）はF(x)＝x²＋xなので、F(3)＝9＋3＝12、F(0)＝0。F(3)−F(0)＝12−0＝12になる。∫₂⁵f(x)dx＝12のとき、∫₅²f(x)dxの値はどれか。
- ◯ 12
- ◯ 0
- ◯ 24
- ◯ −12
正解：−12
上端と下端を入れ替えると定積分の値の符号が反転するので、∫₅²f(x)dx＝−∫₂⁵f(x)dx＝−12になる。2つ目は符号を変えていない。3つ目・4つ目はこの性質に合わない値だ。∫₀²f(x)dx＝5、∫₂⁶f(x)dx＝9のとき、∫₀⁶f(x)dxの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：14
区間を途中のx＝2でつなげられるので、∫₀⁶f(x)dx＝∫₀²f(x)dx＋∫₂⁶f(x)dx＝5＋9＝14になる。S(t)をy＝f(x)のグラフとx軸、直線x＝a、x＝tで囲まれた部分の面積とするとき、S′(t)はどれに等しいか。
- ◯ f(t)
- ◯ f′(t)
- ◯ 0
- ◯ f(a)
正解：f(t)
tをhだけ増やしたときの面積の増え方S(t+h)−S(t)は、幅h・高さf(t)の長方形に近いので、S′(t)＝f(t)になる。2つ目はaでのf(x)の値で、tとは別の値だ。3つ目はf(x)をさらに微分したもので、S′(t)とは別の関数になる。4つ目はf(t)が0のときしか成り立たない。
単元のポイント
- 定積分 F(b)−F(a)で求める値
- 上端と下端 ∫ₐᵇのaが下端、bが上端
- S′(t)＝f(t) 定積分が面積を表す理由