不定(ふてい)積分(せきぶん)

数学(すうがく)Ⅱのこれまでのページでは、関数(かんすう)を微分(びぶん)して導関数(どうかんすう)を求(もと)める計算(けいさん)を学(まな)んだ。ここでは、その逆(ぎゃく)の計算(けいさん)を考(かんが)えよう。

微分(びぶん)するとf(x)になる関数(かんすう)を、f(x)の原始(げんし)関数(かんすう)という。例(たと)えば、x³を微分(びぶん)すると3x²になるので、3x²の原始(げんし)関数(かんすう)の1つはx³だ。

ただし、x³に数(かず)を加(くわ)えた式(しき)（x³＋1やx³−5など）も、微分(びぶん)すればすべて3x²に戻(もど)る。原始(げんし)関数(かんすう)は1つに決(き)まらず、$\mathbf{F(x)+C}$（Cはどんな実数(じっすう)（新しいタブで開きます）でもよい積分(せきぶん)定数(ていすう)）の形(かたち)でまとめて表(あらわ)す。これをf(x)の不定(ふてい)積分(せきぶん)といい、$\int f(x)\,dx$と書(か)く。

n≤2のとき、$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$になる。具体(ぐたい)的(てき)には$\int 1\,dx = x+C$、$\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}+C$、$\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}+C$だ。

不定(ふてい)積分(せきぶん)は、定数(ていすう)倍(ばい)や和(わ)と差(さ)に分(わ)けて計算(けいさん)できる。$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$のように定数(ていすう)倍(ばい)は前(まえ)に出(だ)せ、和(わ)や差(さ)も$\int f(x)\,dx$と$\int g(x)\,dx$の形(かたち)に分(わ)けられる。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)：$F'(x)=3x^2-4x+1$で、$F(0)=5$となる関数(かんすう)F(x)を求(もと)めよ。

まず、3x²−4x＋1を項(こう)ごとに積分(せきぶん)すると、$\mathbf{F(x)=x^3-2x^2+x+C}$になる。

次(つぎ)に、$F(0)=5$という条件(じょうけん)を使(つか)ってCを決(き)める。$F(0)=0-0+0+C$なので、$C=5$が答(こた)えだ。

よって、$\mathbf{F(x)=x^3-2x^2+x+5}$になる。微分(びぶん)して3x²−4x＋1に戻(もど)ることを確(たし)かめておこう。

なぜ原始(げんし)関数(かんすう)にCを加(くわ)えても微分(びぶん)の結果(けっか)が変(か)わらないのか、その理由(りゆう)を考(かんが)えよう。定数(ていすう)を微分(びぶん)すると必(かなら)ず0になるからだ。

例(たと)えば、$f(x)=x^2$の原始(げんし)関数(かんすう)は$F(x)=\dfrac{x^3}{3}+C$だ。Cに−2・0・2を入(い)れた3本(ほん)のグラフを比(くら)べると、どれも上下(じょうげ)にずれているだけで形(かたち)は同(おな)じになる。

下(した)の図(ず)のように、x＝1での接線(せっせん)の傾(かたむ)き（新しいタブで開きます）は3本(ほん)とも$f(1)=1^2=1$で等(ひと)しい。グラフが上下(じょうげ)にずれても、各(かく)点(てん)での増(ふ)え方(かた)は変(か)わらないからだ。

つまり、同(おな)じf(x)から出発(しゅっぱつ)した原始(げんし)関数(かんすう)どうしは、グラフを上下(じょうげ)に平行移動(へいこういどう)した関係(かんけい)にあり、その差(さ)はCという定数(ていすう)だけになる。

（押すと拡大して表示します）