2倍角(ばいかく)の公式(こうしき)と三角関数(さんかくかんすう)の合成(ごうせい)

加法(かほう)定理(ていり)でβ＝αとおくと、1つの角(かく)から2倍(ばい)の角(かく)の三角関数(さんかくかんすう)を求(もと)める2倍角(ばいかく)の公式(こうしき)が導(みちび)ける。

$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$より$\mathbf{\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}$。

$\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha$より$\mathbf{\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}$。$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$を使(つか)うと$\mathbf{\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha}$の2つの形(かたち)にも書(か)ける。

$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$を$\sin^2\alpha$について解(と)くと、半角(はんかく)の公式(こうしき)$\mathbf{\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}$が得(え)られる。正接(せいせつ)も加法(かほう)定理(ていり)から$\mathbf{\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}$と導(みちび)ける。

この公式(こうしき)は、頂角(ちょうかく)2α・等辺(とうへん)1の二等辺三角形(にとうへんさんかくけい)（新しいタブで開きます）の面積(めんせき)を2通(とお)りに表(あらわ)しても確(たし)かめられるわけだ。頂点(ちょうてん)からの垂線(すいせん)で分(わ)けた底辺(ていへん)は$2\sin\alpha$、高(たか)さは$\cos\alpha$なので、面積(めんせき)は$\sin\alpha\cos\alpha$。等辺(とうへん)1と頂角(ちょうかく)2αからは面積(めんせき)$\dfrac{1}{2}\sin2\alpha$にもなり、この2つが等(ひと)しいことから$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$も導(みちび)ける。

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例題(れいだい)：$\sqrt3\sin\theta+\cos\theta$を、$R\sin(\theta+\alpha)$の形(かたち)に合成(ごうせい)せよ。

$R=\sqrt{a^2+b^2}$に、a＝√3、b＝1を代入(だいにゅう)して$\mathbf{R=\sqrt{3+1}=2}$。

$\cos\alpha=\dfrac{a}{R}=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin\alpha=\dfrac{b}{R}=\dfrac{1}{2}$を満(み)たすαは$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$なので、$\mathbf{\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)}$。

合成(ごうせい)した形(かたち)から、この式(しき)の最大値(さいだいち)は$\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$、つまり$\theta=\dfrac{\pi}{3}$のときの2だとすぐに分(わ)かる。

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なぜ$a\sin\theta+b\cos\theta$が$\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$の形(かたち)に書(か)き直(なお)せるのか、加法(かほう)定理(ていり)を逆(ぎゃく)にたどって確(たし)かめよう。

$R\sin(\theta+\alpha)$を加法(かほう)定理(ていり)で展開(てんかい)すると$R\sin\theta\cos\alpha+R\cos\theta\sin\alpha$になる。これが$a\sin\theta+b\cos\theta$と等(ひと)しくなるには、$\mathbf{a=R\cos\alpha}$、$\mathbf{b=R\sin\alpha}$が必要(ひつよう)だ。

点(てん)(a, b)を座標(ざひょう)平面上(へいめんじょう)にとると、原点(げんてん)からの距離(きょり)が$\sqrt{a^2+b^2}$で、x軸(じく)との角(かく)がちょうどαになる。これがRとαの正体(しょうたい)で、$R=\sqrt{a^2+b^2}$、$\cos\alpha=\dfrac{a}{R}$、$\sin\alpha=\dfrac{b}{R}$という関係(かんけい)だ。

原点(げんてん)を中心(ちゅうしん)とする点(てん)の回転移動(かいてんいどう)も、この加法(かほう)定理(ていり)の考(かんが)え方(かた)で表(あらわ)せる。点(てん)(cosθ, sinθ)をαだけ回転(かいてん)させた点(てん)の座標(ざひょう)は$(\cos(\theta+\alpha), \sin(\theta+\alpha))$になり、加法(かほう)定理(ていり)で展開(てんかい)した式(しき)がその成分(せいぶん)になる。