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加法(かほう)定理(ていり)

ゾウ先生sinとcosで符号(ふごう)の並(なら)びが違(ちが)う。混(ま)ざりそうになったら単位(たんい)円(えん)の図(ず)に戻(もど)って確(たし)かめよう。

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  1. 加法(かほう)定理(ていり)は、sin(α＋β)＝sinαcos（新しいタブで開きます）β＋cosαsinβ、cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβという、2つの角(かく)の和(わ)の三角関数(さんかくかんすう)を表(あらわ)す公式(こうしき)だ。
  2. 既(すで)に分(わ)かっている角(かく)の値(あたい)（30°・45°・60°など）を組(く)み合(あ)わせると、75°のような新(あたら)しい角(かく)の三角関数(さんかくかんすう)の値(あたい)を求(もと)められる。
  3. cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβは、単位(たんい)円(えん)（新しいタブで開きます）上(じょう)の2点間(てんかん)の距離(きょり)を2通(とお)りに表(あらわ)して導(みちび)ける。

詳しく

公式(こうしき)

既(すで)に知(し)っている角(かく)の三角関数(さんかくかんすう)の値(あたい)から、新(あたら)しい角(かく)の値(あたい)を求(もと)める方法(ほうほう)が加法(かほう)定理(ていり)だ。たとえば30°と45°の値(あたい)を使(つか)って、75°の値(あたい)を求(もと)めてみよう。

正弦(せいげん)の加法(かほう)定理(ていり)はsin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\mathbf{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}、sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\mathbf{\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}である。

余弦(よげん)の加法(かほう)定理(ていり)はcos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\mathbf{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}、cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\mathbf{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}で、正弦(せいげん)のときと符号(ふごう)の並(なら)びが違(ちが)う点(てん)に注意(ちゅうい)する。

正接(せいせつ)の加法(かほう)定理(ていり)はtan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\mathbf{\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}で、正弦(せいげん)・余弦(よげん)の式(しき)をtan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}の関係(かんけい)で書(か)き換(か)えると導(みちび)ける。

αを回してからβを回すとα＋βAsatte Studio（Manazoo）／オリジナル（コードで作図）

例題(れいだい)

例題(れいだい)：sin75°の値(あたい)を求(もと)めよ。

75°＝45°＋30°と見(み)て、加法(かほう)定理(ていり)sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betaにα＝45°、β＝30°を当(あ)てはめる。

sin⁡75°=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°\sin75°=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°を計算(けいさん)して、sin⁡75°=6+24\mathbf{\sin75°=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}。

同(おな)じ考(かんが)え方(かた)でcos15°＝cos(45°－30°)を計算(けいさん)すると、同(おな)じ6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}になる。75°と15°は足(た)して90°になる角(かく)なので、sin75°＝cos15°が成(な)り立(た)つこととも一致(いっち)する。

なぜそうなるか

なぜcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\betaが成(な)り立(た)つのか、単位(たんい)円上(えんじょう)の2点間(てんかん)の距離(きょり)を使(つか)って確(たし)かめよう。

単位(たんい)円上(えんじょう)に、角α(かくあるふぁ)の点(てん)P(cosα, sinα)と角(かく)βの点(てん)Q(cosβ, sinβ)をとると、2点間(てんかん)の距離(きょり)の2乗(じょう)はPQ2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)PQ^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)になる。

一方(いっぽう)、PとQのなす中心角(ちゅうしんかく)はα−β\alpha-\betaなので、OP＝OQ(オーキュー)＝1の三角形(さんかくけい)に余弦(よげん)定理(ていり)（新しいタブで開きます）を使(つか)うとPQ2=12+12−2cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)PQ^2=1^2+1^2-2\cos(\alpha-\beta)=2-2\cos(\alpha-\beta)という式(しき)も成(な)り立(た)つ。

2つのPQ(ピーキュー)²の式(しき)を比(くら)べるとcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\mathbf{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}が得(え)られる。βを−βに置(お)き換(か)えればcos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta)の式(しき)になり、sinの加法(かほう)定理(ていり)もsin⁡θ=cos⁡(π2−θ)\sin\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)の関係(かんけい)から導(みちび)ける。

単位円上の2点間の距離でcos(α−β)を導くAsatte Studio（Manazoo）／オリジナル（コードで作図）

確認問題

問題 1 / 4sin(α＋β)の加法(かほう)定理(ていり)として正(ただ)しい式(しき)はどれか。

確認問題（解答用紙）

この問題を端末で解くための QR コード

スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。

https://manazoo.com/math/trigonometric-addition-theorem/?from=print#quiz

  1. sin(α＋β)の加法(かほう)定理(ていり)として正(ただ)しい式(しき)はどれか。

    • ◯　sinαsinβ＋cosαcosβ
    • ◯　sinαcosβ＋cosαsinβ
    • ◯　sinαcosβ－cosαsinβ
    • ◯　cosαcosβ－sinαsinβ

    正解：sinαcosβ＋cosαsinβ
    sin(α＋β)＝sinαcos（新しいタブで開きます）β＋cosαsinβが正(ただ)しい。2つ目(め)はsin(α－β)、3つ目(め)はcos(α＋β)、4つ目(め)はcos(α－β)の式(しき)になっている。

  2. sinα＝3/5、cosα＝4/5、β＝π/2（sinβ＝1、cosβ＝0）のとき、sin(α＋β)の値(あたい)を求(もと)めよ。

    答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

    正解：4/5
    sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝(3/5)×0＋(4/5)×1＝4/5。

  3. sinα＝3/5、cosα＝4/5、β＝π（sinβ＝0、cosβ＝−1）のとき、cos(α＋β)の値(あたい)を求(もと)めよ。

    答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

    正解：-4/5
    cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(4/5)×(−1)－(3/5)×0＝−4/5。

  4. tanα＝1、tanβ＝1/3のとき、tan(α＋β)の値(あたい)はどれか。

    • ◯　1/2
    • ◯　2
    • ◯　3/2
    • ◯　4/3

    正解：2
    tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)／(1－tanαtanβ)＝(1＋1/3)／(1－1×1/3)＝(4/3)／(2/3)＝2。

単元のポイント

  • 加法(かほう)定理(ていり)　2つの角(かく)の和(わ)・差(さ)の三角関数(さんかくかんすう)を、それぞれの角(かく)の三角関数(さんかくかんすう)で表(あらわ)す公式(こうしき)
  • sin(α±β)　sinαcosβ±cosαsinβ
  • cos(α±β)　cosαcosβ∓sinαsinβ（符号(ふごう)がsinと逆(ぎゃく)になる）
問題を解く
単元のポイント
  • 加法(かほう)定理(ていり)　2つの角(かく)の和(わ)・差(さ)の三角関数(さんかくかんすう)を、それぞれの角(かく)の三角関数(さんかくかんすう)で表(あらわ)す公式(こうしき)
  • sin(α±β)　sinαcosβ±cosαsinβ
  • cos(α±β)　cosαcosβ∓sinαsinβ（符号(ふごう)がsinと逆(ぎゃく)になる）