等式(とうしき)と不等式(ふとうしき)の証明(しょうめい)

中学(ちゅうがく)と数学(すうがく)Ⅰでは、等式(とうしき)や不等式(ふとうしき)を解(と)くことを学(まな)んだ。ここでは、等式(とうしき)や不等式(ふとうしき)がいつでも成(な)り立(た)つことを証明(しょうめい)する方法(ほうほう)を見(み)ていく。

等式(とうしき)が恒等式(こうとうしき)になるように文字(もじ)の値(あたい)を決(き)めるには、左辺(さへん)と右辺(うへん)を展開(てんかい)して同(おな)じ次数(じすう)の項(こう)の係数(けいすう)を比(くら)べればよい（未定係数法(みていけいすうほう)）。たとえば$(x+a)(x+2)=x^2+5x+b$がxについての恒等式(こうとうしき)になるように、a、bの値(あたい)を定(さだ)めることができる。

展開(てんかい)すると$x^2+(a+2)x+2a=x^2+5x+b$なので、係数(けいすう)を比(くら)べてa＋2＝5、2a＝bより、$\mathbf{a=3,\ b=6}$と決(き)まる。

例題(れいだい)：a、bが実数(じっすう)のとき、a²＋b²≥2abを証明(しょうめい)せよ。

左辺(さへん)−右辺(うへん)を計算(けいさん)すると、$\mathbf{a^2+b^2-2ab=(a-b)^2}$になる。実数(じっすう)の2乗(じょう)はつねに0以上(いじょう)なので、$(a-b)^2 \geq 0$。

したがって$\mathbf{a^2+b^2-2ab \geq 0}$、つまり$\mathbf{a^2+b^2 \geq 2ab}$が成(な)り立(た)つ。等号(とうごう)が成(な)り立(た)つのは$a-b=0$、つまりa＝bのときだけだ。

下(した)の図(ず)のように、(a＋b)²の面積(めんせき)をa²・ab・ab・b²の4区画(くかく)に分(わ)けると、a²＋b²は全体(ぜんたい)より2ab分(ぶん)だけ少(すく)ないことが面積(めんせき)でも確(たし)かめられる。

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a²＋b²≥2abから、相加平均(そうかへいきん)と相乗(そうじょう)平均(へいきん)の関係(かんけい)を導(みちび)いてみよう。a≥0、b≥0のとき、$a=(\sqrt{a})^2$、$b=(\sqrt{b})^2$とおいて先(さき)の不等式(ふとうしき)へ代入(だいにゅう)する。

$\mathbf{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2 \geq 2\sqrt{a}\sqrt{b}}$からa＋b≥2√(ab)、両辺(りょうへん)を2で割(わ)ると$\mathbf{\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}}$という相加平均(そうかへいきん)と相乗(そうじょう)平均(へいきん)の関係(かんけい)だ。

この関係(かんけい)は、面積(めんせき)が同(おな)じ図形(ずけい)で周(しゅう)の長(なが)さを比(くら)べるときにも使(つか)える。下(した)の図(ず)のように、一辺(いっぺん)6の正方形(せいほうけい)（周(しゅう)24）と4×9の長方形(ちょうほうけい)（周(しゅう)26）を比(くら)べると、正方形(せいほうけい)のほうが周(しゅう)の長(なが)さが短(みじか)くなる。

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