整式の割り算と分数式
ゾウ先生整式の割り算も、158÷12の筆算と同じ手順で計算できるよ。
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- 整式Aを整式Bで割ると、商Qと余りRが決まり、A＝BQ＋R（Rの次数はBの次数より小さい）と表せる。
- 整式の除法は、整数の筆算158÷12＝13あまり2と同じ手順で計算できる。
- 分数式は整式を分子・分母とする分数。約分や通分をしてから加減乗除する。
詳しく
公式
数の割り算では、158÷12のように商と余りが決まり、158＝12×13＋2と表せた。整式の割り算でも、同じ考え方を使う。
整式Aを整式Bで割ったときの商をQ、余りをRとすると、という関係が成り立つ。ただし余りRの次数は、割る式Bの次数より必ず小さくなる。
たとえば、x²＋5x＋8をx＋2で割ると、下の図のように商はx＋3、余りは2になる。
例題
例題：x²＋5x＋8をx＋2で割った商と余りを求めよ。
158÷12の筆算と同じ手順で、最高次の項どうしをそろえながら引き算をくり返す。x²÷x＝xなので、まず(x＋2)×xを引く。
x²＋5x＋8−(x²＋2x)＝3x＋8。次に3x÷x＝3なので、(x＋2)×3を引くと3x＋8−(3x＋6)＝2。これ以上は次数が下がらないので、余りが2に決まる。
商はx＋3、余りは2。と確かめられる。
なぜそうなるか
分数式の計算も、数の分数と同じ考え方を使う。約分は分子と分母を共通因数（新しいタブで開きます）で割ること、通分は分母をそろえることだ。
たとえばは、分子をx²−4＝(x＋2)(x−2)と因数分解すると、（x≠−2）に約分できる。
分数式の加減は、数の分数と同じく通分してから分子をたし引きする。ここでは、分母の次数が二次程度までの計算を練習する。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/polynomial-division-and-fractions/?from=print#quiz
x²＋7x＋10をx＋2で割ったときの商を求めよ。
- ◯ x＋2
- ◯ x＋7
- ◯ x−5
- ◯ x＋5
正解：x＋5
x²＋7x＋10は(x＋2)(x＋5)に等しいので、x＋2で割ると商はx＋5、余りは0になる。x³＋2x＋5をx＋1で割ったときの余りを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
最高次からそろえて引き算をくり返すと、x³＋2x＋5＝(x＋1)(x²−x＋3)＋2となり、余りは2。分数式 (x²−9)／(x−3) を約分してから、x＝5のときの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8
x²−9＝(x＋3)(x−3)なので、(x²−9)／(x−3)＝x＋3（x≠3）に約分できる。x＝5のとき5＋3＝8。分数式 (x²＋2x)／x を約分した結果はどれか（x≠0）。
- ◯ x＋2
- ◯ x
- ◯ x²＋2
- ◯ 2
正解：x＋2
x²＋2x＝x(x＋2)なので、(x²＋2x)／x＝x＋2（x≠0）に約分できる。分子の一部だけを消す2つ目・3つ目・4つ目は誤り。
単元のポイント
- 整式の除法 整式Aを整式Bで割って、商Qと余りRを求めること
- A＝BQ＋R 割られる式・割る式・商・余りの関係。Rの次数はBの次数より小さい
- 分数式 整式を分母とする分数の形の式。約分・通分をしてから計算する