一般角(いっぱんかく)と弧(こ)度(ど)法(ほう)

数学(すうがく)Ⅰの「図形(ずけい)と計量(けいりょう)」では、0°から180°までの角(かく)について正弦(せいげん)（新しいタブで開きます）・余弦(よげん)・正接(せいせつ)を考(かんが)えた。ここでは、角(かく)を180°を超(こ)える範囲(はんい)や負(ふ)の角(かく)まで、回転(かいてん)の向(む)きも含(ふく)めて広(ひろ)げていく。

平面上(へいめんじょう)で、点(てん)Oを中心(ちゅうしん)に半(はん)直線(ちょくせん)OPを回転(かいてん)させたときの角(かく)を一般角(いっぱんかく)という。反(はん)時計(とけい)回(まわ)りの回転(かいてん)を正(せい)の角(かく)、時計(とけい)回(まわ)りの回転(かいてん)を負(ふ)の角(かく)とする。

一般角(いっぱんかく)は、基準(きじゅん)の角(かく)θに360°の整数(せいすう)倍(ばい)を加(くわ)えた形(かたち)$\mathbf{\theta + 360° \times n}$（nは整数(せいすう)）で表(あらわ)す。たとえば$\mathbf{400°=40°+360°\times1}$、$\mathbf{750°=30°+360°\times2}$のように表(あらわ)せる。

角(かく)の大(おお)きさを表(あらわ)すもう一(ひと)つの方法(ほうほう)が弧(こ)度(ど)法(ほう)だ。半径(はんけい)rの円(えん)で、弧(こ)の長(なが)さがrと等(ひと)しくなる中心角(ちゅうしんかく)を1ラジアンとする。度数(どすう)法(ほう)の180°は弧(こ)度(ど)法(ほう)の$\pi$ラジアンにあたり、度(ど)とラジアンは$\theta° = \theta \times \dfrac{\pi}{180}$ラジアンの関係(かんけい)で変換(へんかん)できる。

弧(こ)度(ど)法(ほう)を使(つか)うと、半径(はんけい)r・中心角(ちゅうしんかく)θラジアンの扇形(おうぎがた)の弧(こ)の長(なが)さlと面積(めんせき)Sは、$\mathbf{l=r\theta}$、$\mathbf{S=\dfrac{1}{2}r^2\theta}$という式(しき)になる。

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例題(れいだい)：半径(はんけい)6、中心角(ちゅうしんかく)$\dfrac{2}{3}\pi$（ラジアン）の扇形(おうぎがた)について、弧(こ)の長(なが)さと面積(めんせき)を求(もと)めよ。

弧(こ)の長(なが)さは$l=r\theta$に代入(だいにゅう)して、$\mathbf{l=6\times\dfrac{2}{3}\pi=4\pi}$。

面積(めんせき)は$S=\dfrac{1}{2}r^2\theta$に代入(だいにゅう)して、$\mathbf{S=\dfrac{1}{2}\times 6^2\times\dfrac{2}{3}\pi=12\pi}$。

中心角(ちゅうしんかく)$\dfrac{2}{3}\pi$は度数(どすう)法(ほう)の120°にあたる。中学(ちゅうがく)で学(まな)んだ中心角(ちゅうしんかく)120°・半径(はんけい)6cmのおうぎ形(がた)の弧(こ)の長(なが)さ4πcm・面積(めんせき)12πcm²と同(おな)じ値(あたい)になることも確(たし)かめられる。

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なぜ弧(こ)度(ど)法(ほう)で1ラジアンを定義(ていぎ)すると都合(つごう)がよいのか、扇形(おうぎがた)の弧(こ)の長(なが)さと面積(めんせき)の式(しき)から確(たし)かめてみよう。

半径(はんけい)rの円(えん)全体(ぜんたい)の円周(えんしゅう)は$2\pi r$、面積(めんせき)は$\pi r^2$である。中心角(ちゅうしんかく)θラジアンの扇形(おうぎがた)は、円(えん)全体(ぜんたい)の中心角(ちゅうしんかく)$2\pi$のうち$\dfrac{\theta}{2\pi}$の割合(わりあい)を占(し)める。

弧(こ)の長(なが)さはその割合(わりあい)だけ円周(えんしゅう)を取(と)ればよいので、$l=2\pi r\times\dfrac{\theta}{2\pi}=r\theta$。面積(めんせき)も同(おな)じように$S=\pi r^2\times\dfrac{\theta}{2\pi}=\dfrac{1}{2}r^2\theta$になる。

度数(どすう)法(ほう)では360°で割(わ)る計算(けいさん)が必要(ひつよう)だったのに対(たい)し、弧(こ)度(ど)法(ほう)では$2\pi$がそのまま角(かく)の単位(たんい)に含(ふく)まれているため、$l=r\theta$・$S=\dfrac{1}{2}r^2\theta$という比例(ひれい)の形(かたち)で書(か)ける。これが弧(こ)度(ど)法(ほう)を使(つか)う利点(りてん)の一(ひと)つだ。