一般角の三角関数
ゾウ先生象限が変わると符号がどう動くか、単位円の図を自分の手で描いて確かめよう。
30秒でつかむ
- 一般角θの正弦（新しいタブで開きます）・余弦・正接は、円周上の点P(x, y)を使ってsinθ＝y/r、cosθ＝x/r、tanθ＝y/xと定義する。
- 単位円（r＝1）で考えると、cosθがx座標、sinθがy座標にそのまま一致する。
- sin²θ＋cos²θ＝1、1＋tan²θ＝1/cos²θなど、三角比のときの相互関係は一般角でも成り立つ。
詳しく
公式
x軸の正の向きを始線として、角θの動径と、原点Oを中心とする半径rの円との交点をP(x, y)とする。数学Ⅰで学んだ正弦・余弦・正接を、この座標を使って一般角まで拡張しよう。
一般角θの正弦・余弦・正接を、、、（x≠0）で定義する。rの大きさを変えても値は変わらないので、r＝1の単位円で考えるのが基本だ。このとき、cosθがx座標、sinθがy座標にそのまま一致する。
θが0°〜180°のときは、数学Ⅰの三角比と同じ値になる。たとえばθ＝150°なら、単位円上の点はなので、になり、三角比のときの値と一致する。
x、yの符号は象限によって変わるので、sinθ・cosθ・tanθの符号も象限ごとに違う。第1象限はすべて正、第2象限はsinθだけ正、第3象限はtanθだけ正、第4象限はcosθだけ正になる。
例題
例題：θ＝210°のとき、sinθ、cosθ、tanθの値を求めよ。
210°は第3象限の角で、210°＝180°＋30°である。単位円上でこの位置の点はになる。
よって、、。
第3象限はsinθ・cosθがどちらも負でtanθは正になるという、さきほど確認した符号のルールにも合っている。
なぜそうなるか
一般角でも、三角比のときに学んだ相互関係が成り立つことを確かめよう。
点P(x, y)が半径rの円周上にあるとき、が成り立つ。両辺をで割るととなり、が一般角でも成り立つ。
は定義どおりの関係で、これとの両辺をで割るとが導ける。
単位円で角θの点と角−θの点はx軸について線対称なので、になる。角θ＋πの点は原点について点対称の位置にあるので、になる。1回転するごとに同じ点に戻るので、、（nは整数）も成り立つ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/trigonometric-functions-of-general-angles/?from=print#quiz
θ＝120°のとき、sinθ、cosθ、tanθの値の組み合わせとして正しいものはどれか。
- ◯ sinθ＝1/2、cosθ＝−√3/2、tanθ＝−√3/3
- ◯ sinθ＝−√3/2、cosθ＝−1/2、tanθ＝√3
- ◯ sinθ＝√3/2、cosθ＝−1/2、tanθ＝−√3
- ◯ sinθ＝√3/2、cosθ＝1/2、tanθ＝√3
正解：sinθ＝√3/2、cosθ＝−1/2、tanθ＝−√3
120°＝180°－60°なので、単位円上の点は(−1/2, √3/2)。sin120°＝√3/2、cos120°＝−1/2、tan120°＝(√3/2)÷(−1/2)＝−√3。2つ目は150°、3つ目は60°、4つ目は240°の値になっている。θ＝300°のとき、cosθの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1/2
300°＝360°－60°で、cos（新しいタブで開きます）(−θ)＝cosθの関係からcos300°＝cos(−60°)＝cos60°＝1/2。θ＝135°のとき、sinθの値はどれか。
- ◯ −√2/2
- ◯ √2/2
- ◯ −1/2
- ◯ 1/2
正解：√2/2
135°＝180°－45°なので、単位円上の点は(−√2/2, √2/2)。sin135°＝√2/2。第2象限なのでsinθは正になる。sinθ＝3/5（θは第2象限の角）のとき、cosθの値はどれか。
- ◯ −4/5
- ◯ −3/5
- ◯ 4/5
- ◯ 3/5
正解：−4/5
sin²θ＋cos²θ＝1より、cos²θ＝1－9/25＝16/25、cosθ＝±4/5。第2象限はcosθが負なので、cosθ＝−4/5。
単元のポイント
- 一般角の正弦・余弦・正接 円周上の点P(x,y)を使い、sinθ＝y/r、cosθ＝x/r、tanθ＝y/xで定義する
- 単位円 半径1の円。cosθ＝x座標、sinθ＝y座標にそのまま一致する
- 象限による符号 点Pがある象限によって、sinθ・cosθ・tanθの符号が決まる