おうぎ形の弧の長さと面積
ゾウ先生おうぎ形は、円をケーキのように切った1切れ。円の何分のいくつかを先に考えよう。
30秒でつかむ
- おうぎ形は、円の2本の半径と弧で囲まれた図形。2本の半径がつくる角を中心角（新しいタブで開きます）という。
- 半径r、中心角a°なら、弧の長さは2πr×a/360、面積はπr²×a/360で求められる。
- 同じ円では、弧の長さも面積も中心角に比例（新しいタブで開きます）する。円の何分のいくつかを考えると計算が楽になる。
詳しく
公式
半径r、中心角a°のおうぎ形の弧の長さをℓ、面積をSとすると、次の式で求められる。
ℓ＝2πr×a/360 S＝πr²×a/360
円の円周は2πr、面積はπr²で表せた。おうぎ形はその円の a/360 にあたる部分なので、どちらにも a/360 をかける。
例題
例題：半径6cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよう。
弧の長さは2π×6×120/360＝4π で、4π cmになる。
面積はπ×6²×120/360＝12π なので、答えは12π cm²。
120/360は約分すると1/3。先に「円の1/3」と見ておくと、計算の数が小さくてすむ。
なぜそうなるか
円を中心から同じ角度で切り分けると、どの1切れも同じ形と大きさになる。
中心角360°が円1つ分だから、中心角a°のおうぎ形は円の a/360 にあたる。
そのため、弧の長さも面積も中心角に比例する。中心角が2倍なら、どちらも2倍だ。
逆向きにも使える。半径6cmで弧の長さが4π cmなら、円周12π cmの1/3なので、中心角は120°とわかる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/sector-arc-and-area/?from=print#quiz
半径4cm、中心角90°のおうぎ形の弧の長さはどれか。
- ◯ π cm
- ◯ 4π cm
- ◯ 2π cm
- ◯ 8π cm
正解：2π cm
弧の長さは2π×4×90/360＝2π。90/360は1/4なので、円周8π cmの1/4と考えてもよい。半径6cm、中心角60°のおうぎ形の面積は □π cm² になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
面積はπ×6²×60/360＝6π。60/360は1/6で、円の面積36π cm²の1/6にあたる。半径9cm、中心角240°のおうぎ形の面積はどれか。
- ◯ 12π cm²
- ◯ 27π cm²
- ◯ 54π cm²
- ◯ 108π cm²
正解：54π cm²
面積はπ×9²×240/360＝54π。240/360は2/3なので、円の面積81π cm²の2/3になる。半径10cm、弧の長さ5π cmのおうぎ形の中心角は何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：90
半径10cmの円の円周は20π cm。5πはその1/4なので、中心角（新しいタブで開きます）は360°の1/4で90°。同じ円で中心角を2倍にすると、おうぎ形の面積はどうなるか。
- ◯ 2倍になる
- ◯ 半分になる
- ◯ 変わらない
- ◯ 4倍になる
正解：2倍になる
同じ円なら、面積は中心角に比例（新しいタブで開きます）する。中心角が2倍になれば、面積も2倍になる。
単元のポイント
- 中心角（新しいタブで開きます） おうぎ形の2本の半径がつくる角
- 弧 円周の一部分。両はしがA、Bなら、弧ABという
- 円周率 円周÷直径の値。3.14…と限りなく続くので、文字πで表す
- 弧の長さ 2πr×a/360（円周の a/360）
- おうぎ形の面積 πr²×a/360（円の面積の a/360）