和(わ)の記号(きごう)Σ

数列(すうれつ)の和(わ)を短(みじか)く書(か)くための記号(きごう)がΣ（シグマ）だ。$\sum_{k=1}^{n}a_k$は、kに1からnまでを順(じゅん)に入(い)れたa₁＋a₂＋…＋aₙを表(あらわ)す。

たとえば$\sum_{k=1}^{4}(2k+1)$は、kに1から4を入(い)れた3＋5＋7＋9のことで、値(あたい)は24だ。

よく使(つか)う公式(こうしき)は、次(つぎ)の3つだ。定数(ていすう)cの和(わ)は、cをn個(こ)足(た)すのでΣc＝ncだ。自然数(しぜんすう)の和(わ)は$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$と求(もと)められる。

2乗(じょう)の和(わ)は$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$で表(あらわ)せる。

Σには、和(わ)を項(こう)ごとに分(わ)けられる、定数(ていすう)倍(ばい)を外(そと)に出(だ)せるというΣの性質(せいしつ)がある。式(しき)で書(か)くと$\sum(a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k$だ。定数(ていすう)倍(ばい)は$\sum ca_k=c\sum a_k$と外(そと)に出(だ)せる。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)：$\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$を計算(けいさん)せよ。

k(k＋1)＝k²＋kと分(わ)けて、Σの性質(せいしつ)で$\sum k^2+\sum k$に書(か)き直(なお)す。

公式(こうしき)を入(い)れると$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$になる。共通(きょうつう)な$\frac{1}{6}n(n+1)$でくくると、かっこの中(なか)は(2n＋1)＋3＝2n＋4に変(か)わる。

よって、和(わ)は$\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$という式(しき)だ。n＝3なら1·2＋2·3＋3·4＝20で、式(しき)に入(い)れた値(あたい)と一致(いっち)する。

Σkの公式(こうしき)は、等差(とうさ)数列(すうれつ)の和(わ)（新しいタブで開きます）そのものだ。1からnまでは初(はつ)項(こう)1、末項(まっこう)nのn項(こう)なので、和(わ)はn(1＋n)/2になる。

Σk²の公式(こうしき)は、$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$という恒等式(こうとうしき)から導(みちび)く。kに1からnまでを入(い)れた式(しき)を、上下(じょうげ)に並(なら)べて足(た)してみよう。

左辺(さへん)の和(わ)では、2³・3³などの途中(とちゅう)の項(こう)が打(う)ち消(け)し合(あ)い、(n＋1)³−1だけが残(のこ)る。右辺(うへん)の和(わ)は3Σk²＋3Σk＋nだ。

この等式(とうしき)をΣk²について解(と)くと、$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$が出(で)てくる。n＝3なら1＋4＋9＝14で、公式(こうしき)に入(い)れても14になる。

（押すと拡大して表示します）