y＝ax²の変化の割合と変域
ゾウ先生一次関数の変化の割合は一定だが、y＝ax²は違う。xの範囲ごとに計算し直そう。
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- y＝ax²の変化の割合（新しいタブで開きます）は一定ではなく、xがpからqまで増加するときはa(p＋q)で求められる。
- 一次関数の変化の割合はいつもaだったが、y＝ax²では調べるxの範囲によって値が変わる。
- xの変域が0をまたぐときは、yの最小値は0になり、最大値は変域の両端のうち絶対値が大きい方で決まる。
詳しく
公式
y＝ax²で、xがpからqまで増加するときの変化の割合は、次の式で求められる。
変化の割合＝(aq²−ap²)/(q−p)＝a(p＋q)
一次関数の変化の割合はいつもaで一定だったが、y＝ax²の変化の割合は、調べるxの範囲（p、q）によって変わる。
例題
例題：y＝x²で、xの変域が−2≤x≤3のときの、yの変域を求めよう。
y＝x²は0以上の値しかとらないので、変域に0が含まれていれば、yの最小値は0になる。
yの最大値は、変域の両端のうち絶対値が大きい方で決まる。|−2|＜|3|なので、x＝3のときy＝3²＝9が最大値。
だから、yの変域は0≤y≤9になる。xの変域の両端だけを見ても、最大値・最小値を見落とすことがあるので注意する。
なぜそうなるか
変化の割合＝(aq²−ap²)/(q−p)を計算すると、aq²−ap²＝a(q²−p²)＝a(q＋p)(q−p)となり、(q−p)で約分できてa(p＋q)になる。
一次関数のグラフ（新しいタブで開きます）は直線なので、どこで調べても傾き（変化の割合）は同じaだった。y＝ax²のグラフ（新しいタブで開きます）は曲線なので、調べる場所によって傾きの度合いが変わる。これが変化の割合が一定でない理由だ。
変域については、y＝x²のグラフがy軸について対称な曲線であることを思い出すとよい。x＝0に近いほどyは小さく、0から離れるほどyは大きくなる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/rate-of-change-y-ax2/?from=print#quiz
y＝2x²で、xが1から3まで増加するときの変化の割合を、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8
変化の割合（新しいタブで開きます）はa(p＋q)で求められる。a＝2、p＝1、q＝3なので、2×(1＋3)＝8。y＝−3x²で、xが2から5まで増加するときの変化の割合はどれか。
- ◯ −21
- ◯ 21
- ◯ −9
- ◯ 9
正解：−21
変化の割合はa(p＋q)で求められる。a＝−3、p＝2、q＝5なので、−3×(2＋5)＝−21。y＝x²で、xの変域が−2≤x≤3のとき、yの最大値を数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：9
変域に0を含むので、yが最大になるのは絶対値が大きい方の端。|−2|＜|3|なので、x＝3のときy＝3²＝9が最大。y＝x²で、xの変域が−2≤x≤3のとき、yの最小値を数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：0
y＝x²は0以上の値しかとらない。変域に0が含まれているので、yの最小値は0になる。y＝ax²の変化の割合について正しいものはどれか。
- ◯ xの値に関係なく0になる
- ◯ 一定ではなく、xの値によって変わる
- ◯ 一定で、いつもaに等しい
- ◯ 一定で、いつも2aに等しい
正解：一定ではなく、xの値によって変わる
一次関数とちがい、y＝ax²の変化の割合は一定ではなく、調べるxの範囲によって値が変わる。
単元のポイント
- 変化の割合（新しいタブで開きます） yの増加量をxの増加量で割った値。y＝ax²ではxの範囲で変わる
- 変域 xやyがとることのできる値の範囲
- 最大値 変域の中で、yがとる最も大きい値
- 最小値 変域の中で、yがとる最も小さい値
- 2乗に比例する関数 変化の割合が一定にならない、y＝ax²のような関数