二次関数のグラフとx軸の共有点
ゾウ先生判別式の符号は、グラフがx軸を何回またぐかを数で言い当てるしくみだよ。
30秒でつかむ
- 二次方程式ax²＋bx＋c＝0の解は、二次関数（新しいタブで開きます）y＝ax²＋bx＋cのグラフとx軸の共有点のx座標に等しい。
- 判別式D＝b²−4acの符号で共有点の個数がわかる。D＞0なら2個、D＝0なら1個、D＜0なら0個。
- D＝0のとき、グラフはx軸にちょうど接していて、共有点は頂点の1つだけになる。
詳しく
公式
二次方程式の解と、二次関数のグラフには関係がある。グラフと軸との共有点の座標が、方程式の解に等しい。
解の公式（新しいタブで開きます）に出てくるを判別式といい、という文字で表す。の符号だけで、実数（新しいタブで開きます）の解が何個あるかがわかる。
なら解は2つで共有点は2個、なら解は1つ（重解）で共有点は1個になる。なら実数の解はなく共有点は0個になる。
例題
例題：のグラフと軸の共有点の座標を求めよ。
判別式は。なので共有点は2個ある。
方程式を解くとより。共有点はと。
なぜそうなるか
のグラフでは、頂点の座標が0より下にあれば、グラフは必ず軸と2回交わる。頂点のちょうど真上・真下で考えると、の符号は頂点の高さと対応している。
頂点の座標がちょうど0なら、グラフは軸に接するだけで共有点は1個。頂点が0より上にあれば、グラフは軸に届かず共有点は0個になる。
つまり判別式は、計算だけで「グラフを描かなくても共有点の個数がわかる」ようにした道具だと言える。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/quadratic-function-and-x-axis-intersections/?from=print#quiz
y＝x²−2x−3の判別式Dの値と、グラフとx軸の共有点の個数を正しく組み合わせたものはどれか。
- ◯ D＝16、共有点0個
- ◯ D＝4、共有点1個
- ◯ D＝−16、共有点2個
- ◯ D＝16、共有点2個
正解：D＝16、共有点2個
D＝(−2)²−4×1×(−3)＝4＋12＝16。D＞0なので共有点は2個。y＝x²−6x＋9の判別式Dの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：0
D＝(−6)²−4×1×9＝36−36＝0。グラフはx軸に接し、共有点は1個。y＝2x²＋3x＋5のグラフとx軸の共有点は何個か。
- ◯ 0個
- ◯ 1個
- ◯ 2個
- ◯ 3個
正解：0個
D＝3²−4×2×5＝9−40＝−31。D＜0なので共有点は0個。y＝x²−7x＋10のグラフとx軸の共有点の座標はどれか。
- ◯ (2, 0)のみ
- ◯ (−2, 0)と(−5, 0)
- ◯ (1, 0)と(10, 0)
- ◯ (2, 0)と(5, 0)
正解：(2, 0)と(5, 0)
x²−7x＋10＝0を因数分解（新しいタブで開きます）すると(x−2)(x−5)＝0。x＝2, 5なので共有点は(2, 0)と(5, 0)。
単元のポイント
- 判別式 D＝b²−4ac。二次方程式ax²＋bx＋c＝0の解の個数を表す式
- 共有点 グラフとx軸がともに通る点
- 接する グラフがx軸にちょうど1点だけで触れる状態（D＝0のとき）