鈍角(どんかく)の三角比(さんかくひ)

ここまでのsinA・cosA・tanAは、直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)の辺(へん)の比(ひ)として定(さだ)めていた。これは0°より大(おお)きく90°より小(ちい)さい角(かく)（鋭角(えいかく)）だけの話(はなし)だった。これを0°以上(いじょう)180°以下(いか)の角(かく)まで広(ひろ)げる。

原点(げんてん)Oを中心(ちゅうしん)とする半径(はんけい)$r$の円(えん)の上(うえ)に、x軸(じく)の正(せい)の方向(ほうこう)から角(かく)$\theta$だけ回(まわ)った点(てん)Pをとる。点(てん)Pの座標(ざひょう)は$\mathbf{(r\cos\theta,\ r\sin\theta)}$になる。

この座標(ざひょう)を使(つか)って、$\mathbf{\sin\theta=\dfrac{y}{r}}$と表(あらわ)す。$\mathbf{\cos\theta=\dfrac{x}{r}}$も同(おな)じように表(あらわ)す。$\mathbf{\tan\theta=\dfrac{y}{x}}$（$x\neq0$）も同(おな)じように表(あらわ)す。$\theta$が鋭角(えいかく)のときは、直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)の対辺(たいへん)・隣(となり)辺(へん)・斜辺(しゃへん)による定義(ていぎ)と同(おな)じ値(あたい)になる。

$\theta=0°$では点(てん)Pが$(r,0)$になるので、$\sin0°=0,\cos0°=1$。$\theta=90°$では点(てん)Pが$(0,r)$になるので、$\sin90°=1,\cos90°=0$。$\theta=180°$では点(てん)Pが$(-r,0)$になる。だから$\sin180°=0,\cos180°=-1,\tan180°=0$。$\tan90°$は$x=0$になるため定(さだ)めない。

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例題(れいだい)：120°の$\sin$・$\cos$・$\tan$の値(あたい)を求(もと)めよう。

120°は180°－60°なので、点(てん)Pはx軸(じく)との角(かく)が60°の点(てん)をy軸(じく)で折(お)り返(かえ)した位置(いち)になる。折(お)り返(かえ)すとyの値(あたい)（sin）は変(か)わらず、xの値(あたい)（cos）は符号(ふごう)だけ変(か)わる。

60°の値(あたい)は$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$になる。$\cos60°=\dfrac{1}{2}$も使(つか)う。これから$\sin120°=\mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$が決(き)まる。$\cos120°=\mathbf{-\dfrac{1}{2}}$も求(もと)められた。$\tan120°=\dfrac{\sin120°}{\cos120°}$で計算(けいさん)する。$=\mathbf{-\sqrt{3}}$になる。

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180°－θの点(てん)と、θの点(てん)は、どちらも原点(げんてん)中心(ちゅうしん)・半径(はんけい)rの円(えん)の上(うえ)にあり、y軸(じく)をはさんで線対称(せんたいしょう)の位置(いち)にある。

線対称(せんたいしょう)な点(てん)は、y座標(ざひょう)（sinのもと）が同(おな)じで、x座標(ざひょう)（cosのもと）の符号(ふごう)だけ反対(はんたい)になる。これが$\sin(180°-\theta)=\sin\theta$の理由(りゆう)。$\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$も同(おな)じ理由(りゆう)による。

鋭角(えいかく)だけだった三角比(さんかくひ)を座標(ざひょう)で定(さだ)め直(なお)した。これにより、三角形(さんかくけい)の外接(がいせつ)円(えん)や、180°近(ちか)くまで開(ひら)いた角(かく)を含(ふく)む図形(ずけい)の計量(けいりょう)にも三角比(さんかくひ)を使(つか)えるようになる。