正弦(せいげん)定理(ていり)

中学(ちゅうがく)では、円(えん)に内接(ないせつ)する図形(ずけい)の円周角(えんしゅうかく)（新しいタブで開きます）の性質(せいしつ)を学(まな)んだ。ここでは、三角形(さんかくけい)の辺(へん)と角(かく)の関係(かんけい)を、その三角形(さんかくけい)の外接(がいせつ)円(えん)と結(むす)びつける。

三角形(さんかくけい)ABCの3つの頂点(ちょうてん)A、B、Cをすべて通(とお)る円(えん)を外接(がいせつ)円(えん)といい、その半径(はんけい)をRとする。このとき、辺(へん)aと向(む)かい合(あ)う角(かく)Aについて次(つぎ)の関係(かんけい)が成(な)り立(た)つ。

$\mathbf{\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}}$が成(な)り立(た)つ。$\mathbf{\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R}$も成(な)り立(た)つ。これを正弦(せいげん)定理(ていり)という。3組(くみ)のうち、どれか1組(くみ)の値(あたい)がわかれば、2Rの値(あたい)が決(き)まる。

中学(ちゅうがく)では三角形(さんかくけい)に外接(がいせつ)する円(えん)や、A＝B＝Cの形(かたち)の連立方程式(れんりつほうていしき)をあまり扱(あつか)っていない。まずは1組(くみ)ずつ比(ひ)をとる練習(れんしゅう)から始(はじ)めるとよい。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)：三角形(さんかくけい)ABCで、$A=30°$、$a=4$のとき、外接(がいせつ)円(えん)の半径(はんけい)Rを求(もと)めよう。さらに$B=90°$のとき、辺(へん)bの長(なが)さも求(もと)めよう。

正弦(せいげん)定理(ていり)より$\dfrac{a}{\sin A}=2R$である。計算(けいさん)すると$2R=\dfrac{4}{\sin30°}=\dfrac{4}{1/2}=8$。よって$R=\mathbf{4}$。

辺(へん)bについても$\dfrac{b}{\sin B}=2R=8$が成(な)り立(た)つ。これより$b=8\times\sin90°=8\times1=\mathbf{8}$。aが30°の対辺(たいへん)、bが90°の対辺(たいへん)（斜辺(しゃへん)）になる三角形(さんかくけい)になっている。

（押すと拡大して表示します）

正弦(せいげん)定理(ていり)は、三角形(さんかくけい)に外接(がいせつ)する円(えん)をかくと見通(みとお)しやすい。円周上(えんしゅうじょう)のどの点(てん)から見(み)ても、同(おな)じ弧(こ)に対(たい)する円周角(えんしゅうかく)は等(ひと)しいという円周角(えんしゅうかく)の定理(ていり)が背景(はいけい)にある。

外接(がいせつ)円(えん)の直径(ちょっけい)を1辺(へん)とする直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)を作(つく)ると、その三角形(さんかくけい)のある角(かく)が、もとの三角形(さんかくけい)の角(かく)Aと等(ひと)しくなる。直径(ちょっけい)に対(たい)する円周角(えんしゅうかく)は90°なので、直径(ちょっけい)$=\dfrac{a}{\sin A}$という関係(かんけい)が導(みちび)かれる。

外(そと)心(しん)・内心(ないしん)・重心(じゅうしん)や、円(えん)に内接(ないせつ)する四角形(しかくけい)（新しいタブで開きます）の性質(せいしつ)は数学(すうがく)Aで習(なら)うよ。ここでは正弦(せいげん)定理(ていり)と外接(がいせつ)円(えん)の結(むす)びつきだけを押(お)さえておけば十分(じゅうぶん)。