放物線
ゾウ先生放物線は「焦点までの距離」と「準線までの距離」がいつも同じになる点の集まりだよ。この2つを測って確かめてみよう。
30秒でつかむ
- 放物線は、焦点Fと、Fを通らない準線lまでの距離が等しい点Pの軌跡（新しいタブで開きます）として定義する。
- 焦点がF(p,0)、準線がx＝−pのとき、放物線の方程式はy²＝4pxという標準形になる。
- pの値が大きいほど、放物線は横に広がった形になる。
詳しく
公式
平面上に定点Fと、Fを通らない定直線lを決める。
点Pから、Fまでの距離PFと、lまでの距離PHが等しくなる点Pの集まりを放物線という。
このFを焦点、lを準線という。
焦点をF(p,0)、準線をx＝−pとして座標を決めると、放物線の方程式が求まる。
PFとPHをそれぞれ座標で表し、PF＝PHとおいて整理すると、になる。
これを放物線の標準形という。
この式はpの値だけで決まり、原点を通りx軸を軸とする。
「数学Ⅰ」ののグラフも放物線だが、ここでは焦点と準線から式を導く点が異なる。
例題
例題：焦点F(2,0)、準線x＝−2である放物線の方程式を求め、点P(2,4)がその上にあるか調べよ。
標準形にp＝2を当てはめるとになる。
点P(2,4)を代入すると、左辺は、右辺はで一致する。
よって点Pはこの放物線の上にある。
なぜそうなるか
点P(2,4)で、PFとPHが本当に等しいかを直接測って確かめよう。
焦点F(2,0)までの距離はになる。
準線x＝−2までの距離は、x座標の差だけで決まるのでになる。
PF＝PH＝4で、定義のとおり2つの距離が一致した。
この一致は、点Pがどこにあっても放物線上なら必ず成り立つ。
焦点に近づく向きに進むほど、準線からも同じだけ近づくからだ。
この性質から、放物線は光や電波を1点に集める反射面の形としても使われる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/parabola/?from=print#quiz
放物線y²＝8xの焦点Fの座標を(a,0)の形で表すとき、aの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
標準形y²＝4pxとy²＝8xを比べると4p＝8、よってp＝2。焦点はF(p,0)＝(2,0)。放物線y²＝8xの準線の方程式はx＝aの形である。aの値を求めよ（符号も含む）。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：-2
4p＝8よりp＝2。準線はx＝−pなのでx＝−2。放物線y²＝8x上の点P(2,4)について、焦点Fとの距離PFを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：4
放物線ではPFは準線までの距離PHと等しく、PH＝（Pのx座標）－（準線のx座標）＝2－(−2)＝4。焦点が(3,0)、準線がx＝−3である放物線の方程式として正しいものはどれか。
- ◯ y²＝12x
- ◯ x²＝12y
- ◯ y²＝6x
- ◯ y²＝3x
正解：y²＝12x
焦点F(p,0)＝(3,0)なのでp＝3。標準形y²＝4pxに当てはめるとy²＝12x。
単元のポイント
- 焦点 放物線の定義のもとになる定点F
- 準線 焦点を通らない定直線l。放物線上の点からの距離が焦点までの距離と等しい
- 標準形 焦点F(p,0)、準線x＝−pのとき、y²＝4px