楕円(だえん)

平面上(へいめんじょう)に相異(あいこと)なる2定点(ていてん)F,F'を決(き)める。

点(てん)Pから、Fまでの距離(きょり)PFと、F'までの距離(きょり)PF'の和(わ)が一定(いってい)(＝2a)になる点(てん)Pの集(あつ)まりを楕円(だえん)という。

このF,F'を焦点(しょうてん)という。

焦点(しょうてん)をF(c,0)、F'(−c,0)として座標(ざひょう)を決(き)め、$PF+PF'=2a$から式(しき)を整理(せいり)すると方程式(ほうていしき)が求(もと)まる。

$b^2=a^2-c^2$とおくと、楕円(だえん)の方程式(ほうていしき)は$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$になる。

これを楕円(だえん)の標準形(ひょうじゅんけい)という。

a＞b＞0のとき、x軸(じく)方向(ほうこう)の軸(じく)(長(なが)さ2a)を長軸(ちょうじく)、y軸(じく)方向(ほうこう)の軸(じく)(長(なが)さ2b)を短軸(たんじく)という。

このとき焦点(しょうてん)はx軸上(じくじょう)にあり、原点(げんてん)は長軸(ちょうじく)と短軸(たんじく)の交点(こうてん)になる。

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例題(れいだい)：焦点(しょうてん)がF(3,0)、F'(−3,0)で、長軸(ちょうじく)の長(なが)さが10である楕円(だえん)の方程式(ほうていしき)を求(もと)めよ。

長軸(ちょうじく)の長(なが)さが10なので$2a=10$、よって$a=5$になる。

$b^2=a^2-c^2=25-9=16$より$b=4$になる。

標準形(ひょうじゅんけい)に当(あ)てはめると、方程式(ほうていしき)は$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$になる。

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短軸(たんじく)の端(はし)の点(てん)P(0,4)で、PF＋PF'が本当(ほんとう)に2a＝10になるかを確(たし)かめよう。

焦点(しょうてん)F(3,0)までの距離(きょり)は$PF=\sqrt{3^2+4^2}=5$になる。

焦点(しょうてん)F'(−3,0)までの距離(きょり)も、左右(さゆう)対称(たいしょう)なので同(おな)じく$PF'=5$になる。

和(わ)は$PF+PF'=5+5=10$で、2a＝10と等(ひと)しい。

短軸(たんじく)の端(はし)はF,F'から見(み)てちょうど真(ま)ん中(なか)にあるため、2つの距離(きょり)が等(ひと)しくなる。

長軸(ちょうじく)の端(はし)でも同(おな)じ和(わ)になることは、座標(ざひょう)を代入(だいにゅう)して確(たし)かめられる。

太陽(たいよう)の周(まわ)りを回(まわ)る惑星(わくせい)の軌道(きどう)も、太陽(たいよう)を1つの焦点(しょうてん)とする楕円(だえん)に近(ちか)い形(かたち)だ。