軌跡(きせき)

中学(ちゅうがく)では垂直二等分線(すいちょくにとうぶんせん)や角(かく)の二等分線(にとうぶんせん)を作図(さくず)で求(もと)め、数学(すうがく)Aでは角(かく)の二等分線(にとうぶんせん)と線分(せんぶん)の比(ひ)（新しいタブで開きます）の関係(かんけい)を学(まな)んだ。ここでは、条件(じょうけん)を満(み)たす点(てん)の集(あつ)まり（軌跡(きせき)）を、座標(ざひょう)を使(つか)った式(しき)で求(もと)める。

軌跡(きせき)を求(もと)める基本(きほん)の手順(てじゅん)は、条件(じょうけん)を満(み)たす点(てん)を(x,y)とおき、条件(じょうけん)を式(しき)にして整理(せいり)することだ。

例(たと)えば、2点(てん)A(0,0)、B(6,0)から等(ひと)しい距離(きょり)にある点(てん)Pの軌跡(きせき)を考(かんが)える。P(x,y)としてPA＝PBの両辺(りょうへん)を2乗(じょう)すると、$\mathbf{x^2+y^2=(x-6)^2+y^2}$となり、整理(せいり)すると$\mathbf{x=3}$、つまり線分(せんぶん)ABの垂直二等分線(すいちょくにとうぶんせん)になる。

ただし、式(しき)を整理(せいり)しただけでは不十分(ふじゅうぶん)で、求(もと)めた図形上(ずけいじょう)のすべての点(てん)が、もとの条件(じょうけん)を本当(ほんとう)に満(み)たすことまで確(たし)かめて初(はじ)めて軌跡(きせき)が求(もと)まったと言(い)える。

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例題(れいだい)：2点(てん)A(0,0)、B(6,0)から、PA：PB＝1：2になる点(てん)Pの軌跡(きせき)を求(もと)めよ。

P(x,y)とすると、PB＝2PAより$\mathbf{PB^2=4PA^2}$。$\mathbf{(x-6)^2+y^2=4(x^2+y^2)}$を整理(せいり)すると$\mathbf{(x+2)^2+y^2=16}$になる。

これは中心(ちゅうしん)(−2,0)、半径(はんけい)4の円(えん)で、アポロニウスの円(えん)と呼(よ)ばれる。実際(じっさい)に円上(えんじょう)の点(てん)(2,0)で確(たし)かめると、PA＝2、PB＝4で比(ひ)は1：2になっている。円上(えんじょう)の別(べつ)の点(てん)P(−2,4)でも同(おな)じように確(たし)かめられ、PA＝2√5、PB＝4√5で比(ひ)は1：2だ。

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なぜ軌跡(きせき)が直線(ちょくせん)や円(えん)になるかは、条件(じょうけん)の式(しき)を整理(せいり)した結果(けっか)で決(き)まる。等距離(とうきょり)の条件(じょうけん)は2乗(じょう)の差(さ)を展開(てんかい)すると1次(じ)式(しき)が残(のこ)るので直線(ちょくせん)に、距離(きょり)の比(ひ)の条件(じょうけん)は展開(てんかい)すると(x−a)²＋(y−b)²＝r²の形(かたち)が残(のこ)るので円(えん)になる。

ただし、比(ひ)が1：1（等距離(とうきょり)）のときだけは、アポロニウスの円(えん)が直線(ちょくせん)（垂直二等分線(すいちょくにとうぶんせん)）になる特別(とくべつ)な場合(ばあい)だ。