順列(じゅんれつ)

異(こと)なる$n$個(こ)のものから$r$個(こ)を選(えら)んで1列(れつ)に並(なら)べる方法(ほうほう)の数(かず)を${}_{n}\mathrm P_{r}$と書(か)き、順列(じゅんれつ)という。積(せき)の法則(ほうそく)（新しいタブで開きます）をくり返(かえ)し使(つか)うと、${}_{n}\mathrm P_{r}$が求(もと)まる。それは$n\times(n-1)\times\cdots\times(n-r+1)$という積(せき)だ。

とくに$r=n$のとき、考(かんが)えるのは${}_{n}\mathrm P_{n}$だ。これは$n\times(n-1)\times\cdots\times1$になる。この積(せき)を$n$の階(かい)乗(じょう)といい$n!$と書(か)く。$0!$は特別(とくべつ)に$\mathbf{1}$と決(き)める。

異(こと)なる$n$個(こ)を円形(えんけい)に並(なら)べる円順列(えんじゅんれつ)は$(n-1)!$通(とお)り。重複(じゅうふく)を許(ゆる)して$r$個(こ)選(えら)んで並(なら)べる重複順列(じゅうふくじゅんれつ)は$n^{r}$通(とお)りになる。

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例題(れいだい)：異(こと)なる5冊(さつ)の本(ほん)から3冊(さつ)を選(えら)んで、本棚(ほんだな)に1列(れつ)に並(なら)べる方法(ほうほう)は何通(なんとお)りか。

1冊(さつ)目(め)は5通(とお)り、2冊(さつ)目(め)は残(のこ)り4冊(さつ)から4通(とお)り、3冊(さつ)目(め)は残(のこ)り3冊(さつ)から3通(とお)り選(えら)べる。積(せき)の法則(ほうそく)より${}_{5}\mathrm P_{3}=5\times4\times3=\mathbf{60}$通(とお)り。

次(つぎ)に、大人(おとな)4人(にん)が円形(えんけい)のテーブルに座(すわ)る方法(ほうほう)は何通(なんとお)りか。円順列(えんじゅんれつ)では、1人(ひとり)の位置(いち)を固定(こてい)して残(のこ)りの並(なら)べ方(かた)を考(かんが)えればよいので$(4-1)!=3!=\mathbf{6}$通(とお)り。

最後(さいご)に、0から9までの10種類(しゅるい)の数字(すうじ)をくり返(かえ)し使(つか)ってよいとき、4桁(けた)の暗証(あんしょう)番号(ばんごう)は何通(なんとお)り作(つく)れるか。重複順列(じゅうふくじゅんれつ)の公式(こうしき)より、$10^{4}=\mathbf{10000}$通(とお)りになる。

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なぜ${}_{n}\mathrm P_{r}$がこの式(しき)になるのか、順(じゅん)に確(たし)かめよう。1番目(ばんめ)に選(えら)ぶ人(ひと)の選(えら)び方(かた)は$n$通(とお)り、2番目(ばんめ)は1番目(ばんめ)を除(のぞ)いた$n-1$通(とお)り。……と続(つづ)き、$r$番目(ばんめ)は$n-r+1$通(とお)りになる。積(せき)の法則(ほうそく)をくり返(かえ)し使(つか)うと、この積(せき)になる。

円順列(えんじゅんれつ)が$(n-1)!$通(とお)りになるのは、円形(えんけい)には「先頭(せんとう)」がないからだ。1人(ひとり)を固定(こてい)して向(む)きをそろえると、残(のこ)りの$n-1$人(ひと)の並(なら)べ方(かた)（$(n-1)!$通(とお)り）だけが区別(くべつ)される。

重複順列(じゅうふくじゅんれつ)が$n^r$通(とお)りになるのは、$r$個(こ)の枠(わく)それぞれに選(えら)び方(かた)があるからだ。前(まえ)の枠(わく)と関係(かんけい)なく、毎回(まいかい)$n$通(とお)り選(えら)べる。積(せき)の法則(ほうそく)を$r$回(かい)使(つか)うと$n\times n\times\cdots\times n=n^r$になる。