和(わ)の法則(ほうそく)と積(せき)の法則(ほうそく)

集合(しゅうごう)の要素(ようそ)の個数(こすう)（新しいタブで開きます）で見(み)た考(かんが)え方(かた)を、もっと広(ひろ)く使(つか)えるようにしよう。あることがらの起(お)こり方(かた)が$m$通(とお)り、別(べつ)のことがらの起(お)こり方(かた)が$n$通(とお)りあるとする。2つが同時(どうじ)に起(お)こらないとき、どちらかが起(お)こる場合(ばあい)の数(かず)は$m+n$通(とお)り。これを和(わ)の法則(ほうそく)という。このように同時(どうじ)に起(お)こらない2つのことがらを、互(たが)いに排反(はいはん)であるという。

一方(いっぽう)、あることがらの起(お)こり方(かた)が$m$通(とお)りあり、そのそれぞれについて別(べつ)のことがらの起(お)こり方(かた)が$n$通(とお)りあるとする。2つが続(つづ)けて起(お)こる場合(ばあい)の数(かず)は$m\times n$通(とお)り。これを積(せき)の法則(ほうそく)という。樹形図(じゅけいず)で、最初(さいしょ)の枝(えだ)が$m$本(ほん)、その先(さき)の枝(えだ)がそれぞれ$n$本(ほん)に分(わ)かれる形(かたち)と対応(たいおう)する。

3つ以上(いじょう)のことがらが続(つづ)けて起(お)こるときも積(せき)の法則(ほうそく)をくり返(かえ)し使(つか)える。約数(やくすう)の個数(こすう)のように、ことがらを分(わ)けて積(せき)の法則(ほうそく)だけで数(かぞ)えられる場合(ばあい)も多(おお)い。

例題(れいだい)：箱(はこ)が1号(ごう)・2号(ごう)・3号(ごう)の3種類(しゅるい)、リボンが赤(あか)・青(あお)の2種類(しゅるい)あるとき、箱(はこ)とリボンを1つずつ選(えら)ぶ組(く)み合(あ)わせは何通(なんとお)りか。

箱(はこ)の選(えら)び方(かた)は3通(とお)り。そのそれぞれについてリボンの選(えら)び方(かた)が2通(とお)りずつあるので、積(せき)の法則(ほうそく)より$3\times2=\mathbf{6}$通(とお)り。

次(つぎ)に、72の正(せい)の約数(やくすう)の個数(こすう)を求(もと)めよう。72を素因数分解(そいんすうぶんかい)（新しいタブで開きます）すると$72=2^3\times3^2$になる。

約数(やくすう)は$2$を0〜3個(こ)、$3$を0〜2個(こ)かけ合(あ)わせてできる。だから$2$の指数(しすう)の選(えら)び方(かた)が4通(とお)り、$3$の指数(しすう)の選(えら)び方(かた)が3通(とお)り。積(せき)の法則(ほうそく)より約数(やくすう)の個数(こすう)は$(3+1)\times(2+1)=\mathbf{12}$個(こ)。

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なぜ積(せき)の法則(ほうそく)でかけ算(ざん)になるのか、樹形図(じゅけいず)で確(たし)かめよう。最初(さいしょ)のことがらの1つ1つの枝(えだ)から、次(つぎ)のことがらの枝(えだ)が同(おな)じ本数(ほんすう)だけ分(わ)かれる。だから全体(ぜんたい)の枝(えだ)の数(かず)は、本数(ほんすう)どうしのかけ算(ざん)になる。

和(わ)の法則(ほうそく)は、2つのことがらが同時(どうじ)に起(お)こらないからこそ使(つか)える。もし同時(どうじ)に起(お)こることがあれば、集合(しゅうごう)の要素(ようそ)の個数(こすう)のときと同(おな)じように、重(かさ)なった分(ぶん)を引(ひ)かないと数(かぞ)えすぎてしまう。

約数(やくすう)の個数(こすう)に積(せき)の法則(ほうそく)が使(つか)えるのは、$2$の指数(しすう)の選(えら)び方(かた)と$3$の指数(しすう)の選(えら)び方(かた)が、互(たが)いに影響(えいきょう)し合(あ)わず決(き)まるからだ。どちらを先(さき)に選(えら)んでも、組(く)み合(あ)わせ方(かた)の総数(そうすう)は変(か)わらない。

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