多面体とオイラーの多面体定理
ゾウ先生どんな凸多面体でも頂点・辺・面の数で「頂点−辺＋面＝2」になるよ。立体を切って頂点や面が変わっても、この関係はいつも成り立つ。
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- 凸多面体で頂点の数（v）、辺の数（e）、面の数（f）とすると、v−e＋f＝2が成り立つ（オイラーの多面体定理）。
- 立方体の頂点を1つ切り落とすなど、立体の形が変わっても、v−e＋f＝2はいつも成り立つ。
- 各頂点に集まる正多角形の角（新しいタブで開きます）の和が360°未満になる組は5通りしかなく、正多面体は5種類しかないと分かる。
詳しく
公式
中学では、角柱や角すいなどの立体の体積や表面積を学んだ。ここでは、へこみのない立体（凸多面体）の頂点・辺・面の数に注目する。
凸多面体で、頂点の数をv、辺の数をe、面の数をfとすると、がいつも成り立つ。これをオイラーの多面体定理という。
正多面体は正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類しかないことが知られている。この5つはどれも、頂点・辺・面の数を数えるとになることを確かめられる。
例題
例題：直方体の1つの頂点Oと、Oにつながる3つの頂点A、B、Cを頂点とする三角すい（四面体）を、平面ABCで切り落とす。残った立体の頂点の数（v）、辺の数（e）、面の数（f）をそれぞれ求め、オイラーの多面体定理が成り立つか確かめよ。
直方体の頂点8個からOを除くので頂点は個。辺は、Oにつながっていた3辺を除き、新しくできた三角形ABCの3辺を加えるので本。
Oを含んでいた3つの面は三角形に変わり、新しい切り口の三角形が1面加わるので、面は面。になり、オイラーの多面体定理が成り立つ。
なぜそうなるか
正多面体が5種類しかないことは、1つの頂点に集まる角の和が360°未満でなければならないことから説明できる。1つの頂点に、角の数がpの正多角形の面がq個集まるとすると、頂点に集まる角の和は360°未満でなければならない（360°になると平らになり、立体の頂点にならない）。
角の数がpの正多角形の1つの内角はだ。頂点に集まる角の和はを満たす。これを満たすp、qの組はの5通りしかない。
この5通りの組に対応する立体が、正四面体・正八面体・正二十面体・正六面体（立方体）・正十二面体で、正多面体はちょうど5種類しかないことが分かる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/polyhedron-euler-formula/?from=print#quiz
正八面体は、面の数（f）＝8、辺の数（e）＝12である。オイラーの多面体定理を使って、頂点の数（v）を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
v−e＋f＝2よりv＝2＋12−8＝6。正十二面体は、頂点の数（v）＝20、面の数（f）＝12である。オイラーの多面体定理を使って、辺の数（e）を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：30
v−e＋f＝2よりe＝20＋12−2＝30。正多面体はちょうど何種類あるか。
- ◯ 3種類
- ◯ 4種類
- ◯ 5種類
- ◯ 6種類
正解：5種類
正多面体は、正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類しかない。正多面体の各頂点に、正三角形（1つの内角60°）を6個集めようとすると何が起こるか。
- ◯ 角の和が360°を超え、立体として閉じる
- ◯ 頂点が重なってしまい作図できない
- ◯ 正しい正多面体（正二十面体）ができる
- ◯ 頂点のまわりの角の和がちょうど360°になり、平らになって立体にならない
正解：頂点のまわりの角の和がちょうど360°になり、平らになって立体にならない
正三角形の内角は60°なので、6個集めると60×6＝360°になり、頂点のまわりが平らになってしまい立体の頂点にならない。
単元のポイント
- 凸多面体 へこみがなく、どの面も平らな多角形でできている立体
- オイラーの多面体定理 凸多面体で頂点の数（v）、辺の数（e）、面の数（f）の間にv−e＋f＝2が成り立つ定理
- 正多面体 どの面も合同な正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる凸多面体。5種類しかない