直線と平面の垂直と三垂線の定理
ゾウ先生直線が平面に垂直かどうかは、平面上の交わる2直線の両方に垂直かどうかで決まるよ。三垂線の定理は、この垂直の関係をさらに進めた定理だよ。
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- ねじれの位置（新しいタブで開きます）にある2直線のなす角は、一方を平行移動（新しいタブで開きます）して交わらせ、そのときの角で測る。
- 直線が、平面上にある交わる2直線のどちらにも垂直であるとき、その直線は平面に垂直であるという。
- 三垂線の定理：PH⊥平面α、HK⊥直線mならば、PK⊥mが成り立つ（Hは平面上の点、Kは平面上の直線m上の点）。
詳しく
公式
中学1年では、空間における直線や平面の位置関係（平行・垂直・ねじれの位置）を学んだ。ここでは、2直線のなす角の測り方と、直線が平面に垂直になる条件を見ていく。
ねじれの位置にある2直線のなす角は、一方の直線を平行移動してもう一方と交わらせ、そのときにできる角で測る。直線ℓが、平面α上にある交わる2直線のどちらにも垂直であるとき、直線ℓは平面αに垂直であるという。
三垂線の定理：平面α上に直線mがある。平面外の点Pから平面αに下ろした垂線の足をH、Hから直線mに下ろした垂線の足をKとすると、PK⊥mが成り立つ（逆も成り立つ）。2平面のなす角は、交線上の1点から、交線に垂直に各平面上にひいた2本の半直線がつくる角で測り、これを2平面のなす角（二面角）という。
例題
例題：平面αの外にある点Pから平面αへ垂線を下ろした足をH、Hから平面上の直線mへ垂線を下ろした足をKとする。PH＝4cm、HK＝3cmのとき、PKの長さを求めよ。また、PKとmの位置関係を答えよ。
三角形PHKはの直角三角形だ。三平方の定理（新しいタブで開きます）よりになる。数値を入れるとだ。
三垂線の定理より、PH⊥平面α かつ HK⊥mならばPK⊥mが成り立つ。
なぜそうなるか
三垂線の定理を示すには、PH⊥平面αから始める。PHは平面α上のすべての直線に垂直なので、直線mにも垂直になる（PH⊥m）。
さらにHK⊥mなので、直線mは平面PHK上の交わる2直線PHとHKの両方と垂直だ。よってmは平面PHKに垂直である。
mが平面PHKに垂直なら、平面PHK上にあるPKにも垂直になる。したがってPK⊥mが成り立つ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/lines-and-planes-perpendicularity/?from=print#quiz
平面αの外にある点Pから平面αへ下ろした垂線の足をH、Hから平面上の直線mへ下ろした垂線の足をKとする。PH＝6cm、PK＝10cmのとき、HKの長さを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8
三平方の定理（新しいタブで開きます）よりHK＝√(10²−6²)＝8cm。三垂線の定理で、PH⊥平面α、HK⊥mが成り立つとき、PKとmの関係はどれか。
- ◯ PK⊥m
- ◯ PKとmはねじれの位置
- ◯ PK∥m
- ◯ PKとmは交わるが垂直ではない
正解：PK⊥m
三垂線の定理より、PH⊥平面α、HK⊥mならばPK⊥mが成り立つ。直線ℓが平面α上のある1本の直線に垂直であることが分かった。これだけで直線ℓが平面αに垂直であるといえるか。
- ◯ いえる（1本で十分）
- ◯ いえない（交わる2本の直線に垂直である必要がある）
正解：いえない（交わる2本の直線に垂直である必要がある）
直線が平面に垂直であるためには、平面上にある交わる2直線のどちらにも垂直である必要がある。2つの平面がつくる角（二面角）は、どのように測るか。
- ◯ 交線上の1点から、交線に垂直に各平面上にひいた2本の半直線がつくる角
- ◯ 交線の長さ
- ◯ 2つの平面の面積の比
- ◯ 2つの平面上の任意の2直線がつくる角
正解：交線上の1点から、交線に垂直に各平面上にひいた2本の半直線がつくる角
2平面のなす角は、交線上の1点から交線に垂直に各平面上にひいた2本の半直線がつくる角で測る。
単元のポイント
- 直線と平面の垂直 直線が、平面上にある交わる2直線のどちらにも垂直であること
- 三垂線の定理 PH⊥平面α、HK⊥mならばPK⊥mが成り立つ定理（逆も成り立つ）
- 2平面のなす角 交線上の1点から、交線に垂直に各平面上にひいた2本の半直線がつくる角