三平方の定理の逆
ゾウ先生一番長い辺を斜辺の候補にして、2乗の和を比べよう。等しくなければ直角三角形じゃないよ。
30秒でつかむ
- 3辺の長さがa²＋b²＝c²を満たせば、その三角形は直角三角形だといえる（三平方の定理の逆）。
- 確かめるときは、一番長い辺を斜辺（新しいタブで開きます）の候補cとし、残り2辺の2乗の和と比べる。
- 等しくならなければ直角三角形ではない。3-4-5や5-12-13のような組は何度も出てくるので覚えておくと速い。
詳しく
公式
3辺の長さがa、b、c（cが最も長い辺）のとき、が成り立てば、その三角形は直角三角形であるといえる。これを三平方の定理の逆という。
確かめるときは、まず一番長い辺を斜辺の候補cとし、残り2辺の2乗の和と比べる。
例題
例題：3辺が7cm、24cm、25cmの三角形は直角三角形か確かめよう。
一番長い辺25cmを斜辺の候補とする。、で等しいので、直角三角形であるといえる。
一方、3辺が6cm、7cm、9cmの三角形では、、で等しくならないので、直角三角形ではない。
なぜそうなるか
三平方の定理（新しいタブで開きます）は「直角三角形なら」という関係だが、その逆も成り立つことが証明できる。
を満たす3つの整数の組をピタゴラス数という。3-4-5、5-12-13、6-8-10、8-15-17のような組がある。同じ組の整数倍（6-8-10は3-4-5の2倍）も条件を満たす。
辺の長さが与えられたとき、直角三角形かどうかを作図せずに確かめられるのが、この逆の便利さだ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/pythagorean-theorem-converse/?from=print#quiz
3辺の長さが9cm、12cm、15cmの三角形について正しいものはどれか。
- ◯ 二等辺三角形である
- ◯ 直角三角形である（9²＋12²＝15²）
- ◯ 直角三角形ではない
- ◯ 正三角形である
正解：直角三角形である（9²＋12²＝15²）
9²＋12²＝81＋144＝225、15²＝225で等しいので、直角三角形だといえる（3-4-5の3倍）。3辺の長さが6cm、7cm、9cmの三角形について正しいものはどれか。
- ◯ 正三角形である
- ◯ 直角三角形である（6²＋7²＝9²）
- ◯ 二等辺三角形である
- ◯ 直角三角形ではない
正解：直角三角形ではない
6²＋7²＝36＋49＝85、9²＝81で等しくならないので、直角三角形ではない。3辺の長さが8cm、15cm、17cmの三角形について正しいものはどれか。
- ◯ 直角三角形である（8²＋15²＝17²）
- ◯ 正三角形である
- ◯ 二等辺三角形である
- ◯ 直角三角形ではない
正解：直角三角形である（8²＋15²＝17²）
8²＋15²＝64＋225＝289、17²＝289で等しいので、直角三角形だといえる。三平方の定理の逆を使って直角三角形かどうかを確かめるとき、最初にすることはどれか。
- ◯ 面積を求める
- ◯ 一番長い辺を斜辺の候補にする
- ◯ 一番短い辺を2乗する
- ◯ 3辺の長さをすべて足す
正解：一番長い辺を斜辺の候補にする
一番長い辺を斜辺（新しいタブで開きます）の候補cとし、残り2辺の2乗の和と比べる。3辺の長さが10cm、24cm、26cmの三角形について正しいものはどれか。
- ◯ 直角三角形である（10²＋24²＝26²）
- ◯ 二等辺三角形である
- ◯ 正三角形である
- ◯ 直角三角形ではない
正解：直角三角形である（10²＋24²＝26²）
10²＋24²＝100＋576＝676、26²＝676で等しいので、直角三角形だといえる（5-12-13の2倍）。
単元のポイント
- 三平方の定理の逆 3辺がa²＋b²＝c²を満たせば直角三角形だといえる
- 斜辺の候補 確かめるときは一番長い辺を斜辺cとする
- ピタゴラス数 3-4-5、5-12-13のようにa²＋b²＝c²を満たす3つの整数の組