特別な直角三角形の辺の比
ゾウ先生この2つの比を覚えておくと、三平方の定理を使わずにすぐ辺の長さがわかるよ。
30秒でつかむ
- 30°・60°・90°の直角三角形の辺の比は1:√3:2。
- 45°・45°・90°の直角二等辺三角形の辺の比は1:1:√2。
- 正方形の対角（新しいタブで開きます）線は、1辺を直角をはさむ2辺とする直角二等辺三角形の斜辺（新しいタブで開きます）にあたり、1辺の√2倍になる。
詳しく
公式
30°・60°・90°の直角三角形の辺の比は、1:√3:2になる。
45°・45°・90°の直角二等辺三角形の辺の比は、1:1:√2になる。
どちらも三平方の定理（新しいタブで開きます）から導ける比だが、覚えておくと計算が速くなる。
例題
例題：30°、60°、90°の直角三角形で、最も短い辺が4cmのとき、残りの辺の長さを求めよう。
辺の比は1:√3:2なので、4cmが1にあたる長さ。もう1辺は4√3 cm、斜辺は4×2＝8cmになる。
斜辺は比の「2」にあたる部分なので、最も短い辺を2倍するだけで求められる。
なぜそうなるか
30°・60°・90°の三角形は、正三角形を頂点から対辺の中点に向けて半分に切った形。もとの正三角形の1辺が2なら、底辺は1、高さは三平方の定理から√3になる。
45°・45°・90°の三角形は、正方形を対角線で半分に切った形。1辺が1なら、対角線（斜辺）は三平方の定理より√(1²＋1²)＝√2になる。
どちらも三平方の定理の計算をあらかじめしておいた「比」なので、毎回√の計算をしなくても長さがわかる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/special-right-triangles/?from=print#quiz
30°、60°、90°の直角三角形で、最も短い辺が4cmのとき、斜辺の長さは何cmか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8
30°・60°・90°の三角形の辺の比は1:√3:2。最も短い辺（1にあたる）が4cmなら、斜辺（新しいタブで開きます）（2にあたる）は4×2＝8cm。30°、60°、90°の直角三角形で、斜辺が14cmのとき、最も短い辺の長さは何cmか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：7
辺の比1:√3:2より、斜辺（2にあたる）が14cmなら、最も短い辺（1にあたる）は14÷2＝7cm。45°、45°、90°の直角三角形で、直角をはさむ2辺の長さが5cmのとき、斜辺の長さは□√2 cmになる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
45°・45°・90°の三角形の辺の比は1:1:√2。直角をはさむ辺が5cmなら、斜辺は5√2 cmになる。30°、60°、90°の直角三角形で、最も短い辺が3cmのとき、残りの辺の長さの組み合わせはどれか。
- ◯ 3√2cmと6cm
- ◯ 3cmと3√3cm
- ◯ 3√3cmと6cm
- ◯ 6cmと6√3cm
正解：3√3cmと6cm
辺の比は1:√3:2。最も短い辺が3cmなら、残りは3√3cmと6cmになる。1辺の長さが6cmの正方形の対角線の長さはどれか。
- ◯ 3√2 cm
- ◯ 6√2 cm
- ◯ 6cm
- ◯ 12cm
正解：6√2 cm
正方形の対角（新しいタブで開きます）線は、1辺を直角をはさむ2辺とする直角二等辺三角形の斜辺にあたる。辺の比1:1:√2より、6√2 cmになる。
単元のポイント
- 直角二等辺三角形 45°・45°・90°の角をもつ、直角をはさむ2辺が等しい三角形
- 正三角形を半分にした三角形 30°・60°・90°の角をもつ直角三角形
- 辺の比 三角形の3辺の長さの比。30・60・90なら1:√3:2