二次(にじ)不等式(ふとうしき)

二次(にじ)不等式(ふとうしき)を解(と)くには、まず対応(たいおう)する二次方程式(にじほうていしき)$ax^2＋bx＋c＝0$を解(と)く。次(つぎ)に二次(にじ)関数(かんすう)（新しいタブで開きます）$y＝ax^2＋bx＋c$のグラフと$x$軸(じく)との共有(きょうゆう)点(てん)（零点(れいてん)）を求(もと)める。

$ax^2＋bx＋c>0$の解(かい)は、グラフが$x$軸(じく)より上(うえ)にある$x$の範囲(はんい)。$ax^2＋bx＋c<0$の解(かい)は、グラフが$x$軸(じく)より下(した)にある$x$の範囲(はんい)になる。

$a>0$で零点(れいてん)が$\alpha<\beta$の2つあるとき、グラフは零点(れいてん)の外側(そとがわ)で0より上(うえ)になる。内側(うちがわ)では0より下(した)だ。グラフの形(かたち)をイメージすれば、符号(ふごう)の切(き)り替(か)わりが見(み)える。

例題(れいだい)：$x^2−5x＋6>0$を解(と)け。

対応(たいおう)する方程式(ほうていしき)$x^2−5x＋6＝0$を解(と)くと$x＝2, 3$。$a＝1>0$なので、グラフは零点(れいてん)の外側(そとがわ)で0より上(うえ)になる。

よって解(かい)は$\mathbf{x<2}$または$\mathbf{x>3}$。同(おな)じ零点(れいてん)を使(つか)うと、$x^2−5x＋6<0$の解(かい)は内側(うちがわ)の$2<x<3$になる。

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判別式(はんべつしき)$D<0$のとき、グラフは$x$軸(じく)と交(まじ)わらない。このときグラフ全体(ぜんたい)が$x$軸(じく)の上(うえ)だけ、または下(した)だけにある。

$a>0$で$D<0$なら、頂点(ちょうてん)の$y$座標(ざひょう)も0より大(おお)きく、グラフ全体(ぜんたい)は0より上(うえ)にある位置(いち)だ。つまり$ax^2＋bx＋c>0$の解(かい)はすべての実数(じっすう)になる。

逆(ぎゃく)に$a<0$で$D<0$なら、グラフ全体(ぜんたい)が0より下(した)にある。そのため$ax^2＋bx＋c>0$を満(み)たす$x$は1つもなく、解(かい)なしになる。零点(れいてん)が無(な)いときほど、グラフの向(む)きと位置(いち)を正(ただ)しくつかむことが大事(だいじ)だ。

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