散布図(さんぷず)と相関係数(そうかんけいすう)

2つの量(りょう)の関係(かんけい)を点(てん)で表(あらわ)した図(ず)を散布図(さんぷず)という。点(てん)が右上(みぎあ)がりに並(なら)ぶ正(せい)の相関(そうかん)、右下(みぎさ)がりに並(なら)ぶ負(ふ)の相関(そうかん)、ばらついて並(なら)ぶ相関(そうかん)がないの3つに分(わ)けられる。

2つの量(りょう)それぞれの偏差(へんさ)の積(せき)の平均(へいきん)を共(きょう)分散(ぶんさん)という。共(きょう)分散(ぶんさん)を2つの量(りょう)の標準偏差(ひょうじゅんへんさ)の積(せき)で割(わ)った値(あたい)が相関(そうかん)係数(けいすう)だ。

相関(そうかん)係数(けいすう)は必(かなら)ず$-1$以上(いじょう)$1$以下(いか)の値(あたい)になる。$1$に近(ちか)いほど強(つよ)い正(せい)の相関(そうかん)、$-1$に近(ちか)いほど強(つよ)い負(ふ)の相関(そうかん)を表(あらわ)す。

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例題(れいだい)：5人(にん)の勉強(べんきょう)時間(じかん)$x$（1,2,3,4,5）と、テストの点(てん)$y$（2,3,5,4,6）の相関(そうかん)係数(けいすう)を求(もと)めよう。平均(へいきん)は$x$が$3$、$y$が$4$だ。

偏差(へんさ)の積(せき)は順(じゅん)に$(-2)(-2)=4$、$(-1)(-1)=1$、$0\times1=0$、$1\times0=0$、$2\times2=4$で、合計(ごうけい)は$9$。共(きょう)分散(ぶんさん)はこれを人数(にんずう)5で割(わ)った$9÷5=1.8$だ。$x$と$y$の偏差(へんさ)の2乗(じょう)の合計(ごうけい)はどちらも$10$なので、分散(ぶんさん)はどちらも$10÷5=2$と求(もと)められる。

標準偏差(ひょうじゅんへんさ)はどちらも$\sqrt{2}$になる。相関(そうかん)係数(けいすう)は$1.8÷(\sqrt{2}\times\sqrt{2})=\mathbf{0.9}$だ。1に近(ちか)い値(あたい)なので、強(つよ)い正(せい)の相関(そうかん)があるとわかる。

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共(きょう)分散(ぶんさん)だけでは、量(りょう)の単位(たんい)やばらつきの大(おお)きさによって値(あたい)が変(か)わり、関係(かんけい)の強(つよ)さを比(くら)べにくい。

そこで共(きょう)分散(ぶんさん)を、2つの量(りょう)それぞれの標準偏差(ひょうじゅんへんさ)の積(せき)で割(わ)ることで、単位(たんい)の影響(えいきょう)を消(け)して−1から1の範囲(はんい)に収(おさ)める。

散布図(さんぷず)の点(てん)が1本(ほん)の直線(ちょくせん)に近(ちか)いほど相関(そうかん)係数(けいすう)の絶対値(ぜったいち)は1に近(ちか)づき、点(てん)が直線(ちょくせん)から散(ち)らばるほど0に近(ちか)づく。