分散(ぶんさん)と標準偏差(ひょうじゅんへんさ)

データの各(かく)値(あたい)から平均値(へいきんち)を引(ひ)いた差(さ)を偏差(へんさ)という。偏差(へんさ)を2乗(じょう)した値(あたい)の平均(へいきん)が分散(ぶんさん)だ。

分散(ぶんさん)の正(せい)の平方根(へいほうこん)が標準偏差(ひょうじゅんへんさ)。データの個数(こすう)を$n$とすると、分散(ぶんさん)は偏差(へんさ)の2乗(じょう)の合計(ごうけい)を$n$で割(わ)った値(あたい)になる。

分散(ぶんさん)は、各(かく)値(あたい)の2乗(じょう)の平均(へいきん)から平均値(へいきんち)の2乗(じょう)を引(ひ)いても求(もと)められる。偏差(へんさ)を1つずつ計算(けいさん)する手間(てま)が減(へ)る方法(ほうほう)だ。

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例題(れいだい)：7,9,10,11,13の5つの値(あたい)の分散(ぶんさん)と標準偏差(ひょうじゅんへんさ)を求(もと)めよう。平均値(へいきんち)は$\dfrac{7+9+10+11+13}{5}=10$で、まずこの平均値(へいきんち)からの偏差(へんさ)を出(だ)す。

偏差(へんさ)はそれぞれ$-3,-1,0,1,3$。2乗(じょう)すると$9,1,0,1,9$で、合計(ごうけい)は$20$。これを個数(こすう)5で割(わ)り、分散(ぶんさん)は$\dfrac{20}{5}=\mathbf{4}$と求(もと)められる。

標準偏差(ひょうじゅんへんさ)は分散(ぶんさん)の平方根(へいほうこん)なので$\sqrt{4}=\mathbf{2}$。別(べつ)の求(もと)め方(かた)でも確(たし)かめよう。2乗(じょう)の平均(へいきん)は$\dfrac{49+81+100+121+169}{5}=104$。そこから平均(へいきん)の2乗(じょう)$100$を引(ひ)くと$4$で一致(いっち)する。

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偏差(へんさ)をそのまま平均(へいきん)すると、正(せい)の偏差(へんさ)と負(ふ)の偏差(へんさ)が打(う)ち消(け)し合(あ)って必(かなら)ず0になり、散(ち)らばりを表(あらわ)せない。

そこで偏差(へんさ)を2乗(じょう)すると、符号(ふごう)が消(き)えてすべて0以上(いじょう)の値(あたい)になる。この2乗(じょう)の平均(へいきん)が分散(ぶんさん)だ。

ただし2乗(じょう)すると単位(たんい)も2乗(じょう)になってしまう。平方根(へいほうこん)を取(と)って元(もと)の単位(たんい)に戻(もど)した値(あたい)が標準偏差(ひょうじゅんへんさ)で、実際(じっさい)の散(ち)らばりの大(おお)きさを表(あらわ)しやすい。