円柱と円すいの体積
ゾウ先生「すい」の形だけ1/3をかける。底面と高さが同じ柱体と比べて覚えよう。
30秒でつかむ
- 角柱・円柱の体積は「底面積×高さ」。円柱なら V＝πr²h になる。
- 角すい・円すいの体積は、底面積と高さが同じ柱体の1/3。円すいなら V＝1/3πr²h と書ける。
- すいの体積で1/3をかけ忘れるのがよくある間違い。柱体と比べて確かめよう。
詳しく
公式
底面積をS、高さをhとすると、角柱や円柱の体積Vは V＝Sh で求められる。
円柱の底面は半径rの円だから、S＝πr² を入れて V＝πr²h になる。
角すいや円すいの体積は V＝1/3Sh。円すいなら V＝1/3πr²h と表せる。
例題
例題：底面の半径が3cm、高さが4cmの円柱と円すいの体積を、それぞれ求めよう。
円柱はπ×3²×4＝36π で、36π cm³になる。
円すいは1/3×π×3²×4＝12π なので、答えは12π cm³。
底面と高さが同じだから、円すいの体積は円柱のちょうど1/3になっている。
なぜそうなるか
角柱や円柱は、底面がまっすぐ上へ高さの分だけ動いてできた立体と見られる。だから、体積は底面積に高さをかけて求められる。
円すいの形の入れ物に水を入れ、底面と高さが同じ円柱に移してみる。すると、3回でちょうどいっぱいだ。
この実験から、すい体の体積は柱体の1/3だとわかる。中学では模型や実験で確かめ、式で示す方法は高校で学ぶ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/cylinder-and-cone-volume/?from=print#quiz
底面の半径が2cm、高さが5cmの円柱の体積はどれか。
- ◯ 10π cm³
- ◯ 20/3π cm³
- ◯ 20π cm³
- ◯ 40π cm³
正解：20π cm³
円柱の体積は底面積×高さ。π×2²×5＝20π で、20π cm³になる。底面の半径が3cm、高さが7cmの円すいの体積は □π cm³ になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：21
円すいの体積は1/3×底面積×高さ。1/3×π×3²×7＝21π。1/3をかけ忘れると63πになってしまう。底面積が30cm²、高さが8cmの四角すいの体積（新しいタブで開きます）はどれか。
- ◯ 40 cm³
- ◯ 80 cm³
- ◯ 120 cm³
- ◯ 240 cm³
正解：80 cm³
角すいも円すいと同じで、体積は1/3×底面積×高さ。1/3×30×8＝80 で、80cm³。底面積と高さが同じ円柱と円すいがある。円すいの体積は円柱の何倍か。
- ◯ 1/2倍
- ◯ 1/3倍
- ◯ 2/3倍
- ◯ 3倍
正解：1/3倍
すいの体積は、底面積と高さが同じ柱体の1/3。水を移す実験では、円すい3回分で円柱がいっぱいになる。底面が1辺6cmの正方形で、高さが10cmの正四角すいの体積（新しいタブで開きます）を求めよう。単位のcm³は付けず、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：120
底面積は6×6＝36cm²。体積は1/3×36×10＝120 で、120cm³になる。
単元のポイント
- 底面積 底面1つの面積。円柱なら半径rの円でπr²
- 柱体 角柱と円柱のこと。体積は底面積×高さ
- すい体 角すいと円すいのこと。体積は1/3×底面積×高さ
- 円柱の体積 V＝πr²h
- 円すいの体積 V＝1/3πr²h