数列(すうれつ)の極限(きょくげん)

数列(すうれつ){aₙ}で、nを限(かぎ)りなく大(おお)きくしたときにaₙがある一定(いってい)の値(あたい)αに限(かぎ)りなく近(ちか)づくならば、この数列(すうれつ)はαに収束(しゅうそく)するといい、$\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$と書(か)く。αをこの数列(すうれつ)の極限値(きょくげんち)（新しいタブで開きます）という。

収束(しゅうそく)しない数列(すうれつ)は発散(はっさん)するという。aₙが限(かぎ)りなく大(おお)きくなるときは正(せい)の無限(むげん)大(だい)に発散(はっさん)、限(かぎ)りなく小(ちい)さくなるときは負(ふ)の無限(むげん)大(だい)に発散(はっさん)といい、大(おお)きい値(あたい)と小(ちい)さい値(あたい)を交互(こうご)にとって一定(いってい)の値(あたい)に近(ちか)づかないときは振動(しんどう)するという。

2つの数列(すうれつ){aₙ}、{bₙ}がそれぞれα、βに収束(しゅうそく)するとき、$\mathbf{\lim(a_n+b_n)=\alpha+\beta}$、$\mathbf{\lim(a_n-b_n)=\alpha-\beta}$、$\mathbf{\lim a_nb_n=\alpha\beta}$が成(な)り立(た)つ。βが0でなければ$\mathbf{\lim\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}}$も成(な)り立(た)ち、どれも先(さき)に極限値(きょくげんち)を求(もと)めてから計算(けいさん)してよい。

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例題(れいだい)：$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{(2n+1)(n-1)}{n(n+2)}$を求(もと)めよ。

このまま分子(ぶんし)・分母(ぶんぼ)を別々(べつべつ)にnを∞に近(ちか)づけると、どちらも∞に発散(はっさん)してしまい「∞／∞」の形(かたち)になって極限(きょくげん)がわからない。そこで分子(ぶんし)を展開(てんかい)して$2n^2-n-1$にし、分母(ぶんぼ)・分子(ぶんし)を最高次(さいこうじ)の項(こう)n²で割(わ)る。

$\displaystyle\frac{2n^2-n-1}{n^2+2n}=\frac{2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}$と変形(へんけい)すると、nを∞に近(ちか)づけたとき1／n、1／n²はどちらも0に近(ちか)づくので、分子(ぶんし)は2、分母(ぶんぼ)は1に近(ちか)づく。

よって、求(もと)める極限(きょくげん)は$\frac{2}{1}=2$になる。n＝1000で実際(じっさい)に計算(けいさん)しても約(やく)1.995で、2に近(ちか)い値(あたい)になる。

なぜ分母(ぶんぼ)・分子(ぶんし)を最高次(さいこうじ)の項(こう)で割(わ)るのかを確(たし)かめよう。分子(ぶんし)2n²−n−1と分母(ぶんぼ)n²＋2nは、nが大(おお)きくなるとどちらも限(かぎ)りなく大(おお)きくなるので、そのままでは差(さ)し引(ひ)きの様子(ようす)がつかめない。

そこで分母(ぶんぼ)の最高次(さいこうじ)の項(こう)n²で割(わ)ると、分子(ぶんし)は$2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$という「2に近(ちか)づく式(しき)」に、分母(ぶんぼ)は$1+\frac{2}{n}$という「1に近(ちか)づく式(しき)」に姿(すがた)を変(か)える。1／n、1／n²のような分数(ぶんすう)は、nを大(おお)きくするほど0に近(ちか)づく数列(すうれつ)の代表(だいひょう)だ。

下(した)の図(ず)のように、n＝10、100、1000で実際(じっさい)に数列(すうれつ)の値(あたい)を計算(けいさん)すると、1.575、1.9509、1.9950と、どんどん2に近(ちか)づいていくようすが見(み)える。この「分母(ぶんぼ)・分子(ぶんし)を最高次(さいこうじ)の項(こう)で割(わ)る」変形(へんけい)は、分数(ぶんすう)式(しき)の極限(きょくげん)を求(もと)めるときにいつでも使(つか)える基本(きほん)の手(て)だ。

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