微分係数と導関数
ゾウ先生f′(a)は数、f′(x)は式。この違いを区別できると、あとの接線や増減の計算がぐっと楽になるよ。
30秒でつかむ
- 平均変化率(f(a+h)−f(a))/hのhを0に近づけた極限値が、x＝aでの微分係数f′(a)。
- aをxに置きかえた式f′(x)を導関数といい、xⁿの導関数はnxⁿ⁻¹（n≦3が中心）。
- 定数倍・和・差の導関数は、それぞれの関数の導関数を定数倍・和・差すればよい。
詳しく
公式
中学では一次関数の変化の割合（新しいタブで開きます）が一定であること、数学Ⅰでは二次関数（新しいタブで開きます）の変化のようすを学んだ。ここでは、関数f(x)のxがaからa＋hまで変わるときの平均変化率を出発点にする。
このhを0に近づけたとき、平均変化率がある一定の値に近づくなら、その値をx＝aにおける微分係数といい、f′(a)と書く。「hを0に近づける」ことを表す記号がlimで、と表す。
aをxに置きかえた式f′(x)を導関数という。xⁿの導関数は（n≦3を中心に扱う）、定数倍・和・差の導関数はそれぞれの導関数を定数倍・和・差すればよい。
例題
例題：f(x)＝2x³−3x²＋1の導関数f′(x)を求め、f′(2)の値を求めよ。
xⁿの導関数の公式と定数倍・和・差の規則を使うと、。これにx＝2を代入すると、になる。
なぜそうなるか
(x²)′＝2xになる理由を、定義どおりに計算して確かめよう。f(x)＝x²のとき、f(x+h)−f(x)＝(x+h)²−x²＝2xh＋h²。これをhで割ると2x＋hで、hを0に近づけると2xに近づく。x＝1では2×1＝2で、これが下の図で割線の傾きが近づく値と一致する。
(x³)′＝3x²も同じ手順で確かめられる。(x+h)³−x³＝3x²h＋3xh²＋h³をhで割ると3x²＋3xh＋h²となり、hを0に近づけると3x²だけが残る。
この「hを0に近づける」計算は、具体的な場面でも同じ意味を持つ。下の図のように物が落ちる距離s＝4.9t²（重力加速度を約9.8m/s²として、t秒後に落ちた距離、単位m）でも、t＝1付近の平均の速さを計算してhを0に近づけると9.8m/秒に近づき、これがt＝1での瞬間の速さになる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/differential-coefficient-and-derivative/?from=print#quiz
f(x)＝x² について、x＝1からx＝3までの平均変化率を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：4
平均変化率は(f(3)−f(1))/(3−1)で求める。f(3)＝9、f(1)＝1なので、(9−1)/2＝4。f(x)＝2x³−3x²＋1 の導関数f′(x)を使って、f′(1)の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：0
f′(x)＝6x²−6xなので、f′(1)＝6×1−6×1＝0。f(x)＝x² のx＝2での平均変化率(f(2+h)−f(2))/hは、hを0に近づけるとどの値に近づくか。
- ◯ 0
- ◯ 2
- ◯ 4
- ◯ 8
正解：4
(x²)′＝2xなので、x＝2での微分係数はf′(2)＝2×2＝4。平均変化率(2＋h)²−2²をhで割ると4＋hになり、hを0に近づけると4に近づく。導関数の公式(xⁿ)′＝nxⁿ⁻¹を使うと、(x³)′はどれになるか。
- ◯ 3x
- ◯ 3x²
- ◯ x³
- ◯ x²
正解：3x²
n＝3を(xⁿ)′＝nxⁿ⁻¹に当てはめると、(x³)′＝3x³⁻¹＝3x²になる。
単元のポイント
- 平均変化率 xがaからa＋hまで変わるときの、yの変化の割合
- 微分係数 平均変化率のhを0に近づけた極限値f′(a)
- 導関数 微分係数を一般のxで表した式f′(x)