階差数列
ゾウ先生規則が見えない数列は、まずとなり合う項の差を書き出してみよう。
30秒でつかむ
- 数列{aₙ}のとなり合う項の差bₙ＝aₙ₊₁−aₙを並べた数列を、階差数列という。
- n≧2のとき、もとの数列の一般項はaₙ＝a₁＋Σbₖ（k＝1〜n−1）。最後にn＝1でも成り立つか確かめる。
- 第n項までに足す差はb₁からbₙ₋₁までのn−1個なので、Σの上の数はn−1になる。
詳しく
公式
数列{aₙ}のとなり合う項の差bₙ＝aₙ₊₁−aₙを並べた数列を、{aₙ}の階差数列という。
1, 3, 6, 10, 15, …の階差数列は2, 3, 4, 5, …となり、これは等差数列（新しいタブで開きます）だ。もとの数列の規則は、差を見ると分かることが多い。
n≧2のとき、もとの数列の一般項はで求められる。かっこの中はΣを使ってと書ける。つまり、初項a₁に第n項までの差をすべて足せばよい。
例題
例題：数列1, 3, 6, 10, 15, …の一般項を求めよ。
階差数列は2, 3, 4, …なのでと表せる。n≧2のときは、を計算すればよい。
Σの部分はと求まる。1を足して整理するとになる。
この式はn＝1のときも1になるので、すべての自然数nで成り立つ。1, 3, 6, 10, …は三角数と呼ばれる数の並びだ。
なぜそうなるか
なぜ差を足すと一般項になるのか、項を1つずつ追ってみよう。a₂＝a₁＋b₁、a₃＝a₂＋b₂のように、次の項は前の項に差を足したものだ。
これをくり返すと、a₄＝a₁＋b₁＋b₂＋b₃と書ける。第n項までに足す差は、b₁からbₙ₋₁までのn−1個になる。
そのため公式のΣは、kが1からn−1までになる。n≧2と断るのは、n＝1のときに足す差が1つも無いからだ。
三角数を点の三角形で表すと、段を1つ増やすごとに点が2, 3, 4, …個ずつ増える。この増え方が、三角数の階差数列にあたる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/sequence-of-differences/?from=print#quiz
数列2, 3, 5, 8, 12, …の次の項（第6項）を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：17
となり合う項の差は1, 2, 3, 4と1ずつ増える。次の差は5なので、12＋5＝17。数列1, 2, 5, 10, 17, …の第10項を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：82
階差数列は1, 3, 5, 7, …でbₖ＝2k−1。a₁₀＝1＋(b₁＋…＋b₉)で、1から17までの奇数9個の和は9²＝81。よってa₁₀＝82。三角数1, 3, 6, 10, …の第20項を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：210
三角数の一般項はaₙ＝n(n＋1)/2。n＝20を入れると20×21÷2＝210。階差数列を使う公式aₙ＝a₁＋Σbₖで、Σの上の数がnではなくn−1になるのはなぜか。
- ◯ もとの数列の項がn−1個しかないから
- ◯ 公差から1を引く必要があるから
- ◯ nが偶数のときだけ使う公式だから
- ◯ a₁から第n項までに足す差が、b₁からbₙ₋₁までのn−1個だから
正解：a₁から第n項までに足す差が、b₁からbₙ₋₁までのn−1個だから
a₂＝a₁＋b₁、a₃＝a₁＋b₁＋b₂のように、第n項までに足す差はn−1個。数列の項の数や公差（新しいタブで開きます）とは関係ない。
単元のポイント
- 階差数列 となり合う項の差bₙ＝aₙ₊₁−aₙを並べた数列
- aₙ＝a₁＋Σbₖ n≧2で、kは1からn−1まで
- 三角数 1, 3, 6, 10, …。点を三角形に並べたときの個数