等差×等比の数列の和
ゾウ先生S−rSは、等比数列の和の公式を作ったときと同じ手だよ。ずらして並べるのを忘れずに。
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- 等差数列（新しいタブで開きます）と等比数列（新しいタブで開きます）の項どうしを掛けた数列を、等差×等比の数列という。k·2ᵏの数列が代表例。
- 和をSとし、Sに公比rを掛けたrSを1つずらして並べてS−rSを計算すると、等比数列の和が現れる。
- 同じ累乗の項どうしで係数の差がいつも公差になるので、等比数列の和の公式に帰着できる。
詳しく
公式
等差数列と等比数列の項どうしを掛けた数列を、等差×等比の数列という。1·2, 2·2², 3·2³, …のように、kと2ᵏを掛けた数列が代表的な例だ。
和を求めるときは、等比数列の和の公式と同じ工夫を使う。和をSとし、Sに公比rを掛けたrSを1つずらして並べてS−rSを計算する。
すると等比数列の和が現れるので、公式で計算できる。最後に両辺を1−rで割れば、Sが求まる。
例題
例題：を求めよ。
両辺に2を掛けたものがだ。Sから2Sを引けば、S−2S＝2＋2²＋…＋2ⁿ−n·2ⁿ⁺¹が得られる。
2＋2²＋…＋2ⁿ＝2ⁿ⁺¹−2なので、−S＝2ⁿ⁺¹−2−n·2ⁿ⁺¹と書ける。よってが答えだ。
n＝3なら2＋8＋24＝34で、式でも2×16＋2＝34となり一致する。
なぜそうなるか
なぜずらして引くとうまくいくのか。S＝1·2＋2·4＋3·8と2S＝1·4＋2·8＋3·16を、2の累乗がそろうよう上下に並べよう。
同じ累乗の列では、上の係数から下の係数を引くといつも1になる。だから引いた結果は、2＋4＋8という等比数列の和と、最後の項だけになる。
等差数列の部分は差をとると公差という一定の数になり、等比数列の部分はそのまま残る。これが、等比数列の和の公式を導いたときと同じ工夫だ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/arithmetico-geometric-sums/?from=print#quiz
S＝1·3＋2·3²＋3·3³の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：102
順に計算すると3＋18＋81＝102。S−3Sを使っても、−2S＝3＋9＋27−3×81＝−204からS＝102と求まる。S＝1·2＋2·2²＋…＋n·2ⁿで、n＝4のときの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：98
例題の式S＝(n−1)2ⁿ⁺¹＋2にn＝4を入れると3×32＋2＝98。2＋8＋24＋64＝98とも一致する。S＝1·2＋2·2²＋…＋n·2ⁿを求めるとき、はじめにSに掛ける数はどれか。
- ◯ 等差数列の部分の公差1
- ◯ 初項の1
- ◯ 等比数列の部分の公比2
- ◯ 項数n
正解：等比数列の部分の公比2
等比数列（新しいタブで開きます）の部分の公比を掛けると、累乗が1つずつずれて上下にそろう。項数や公差（新しいタブで開きます）を掛けても、引いたときに項が消えない。等差×等比の数列でS−rSを計算すると、等比数列の和が現れるのはなぜか。
- ◯ rを掛けると等差数列の部分が消えるから
- ◯ 初項がいつも0になるから
- ◯ 項数が1つ減るから
- ◯ 同じ累乗の項どうしで、係数の差がいつも公差になるから
正解：同じ累乗の項どうしで、係数の差がいつも公差になるから
上下にそろえた同じ累乗の項では、係数の差がいつも公差で一定になる。そのため一定の数×累乗の和、つまり等比数列の和になる。
単元のポイント
- 等差×等比の数列 等差数列と等比数列の項どうしを掛けた数列
- S−rS 公比rを掛けてずらし、引いて等比数列の和に直す
- 1−r 最後に両辺をこの数で割ってSを求める