相似比と面積比・体積比
ゾウ先生面積は2乗、体積は3乗。長さの比をそのまま面積や体積に使わないよう気をつけよう。
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- 相似な平面図形で相似比がa:bなら、面積比はa²:b²になる。
- 相似な立体で相似比がa:bなら、表面積（新しいタブで開きます）比はa²:b²、体積比はa³:b³になる。
- 面積比・体積比を求めるときは、相似比をそのまま使わず、2乗・3乗してから比を作る。
詳しく
公式
相似な平面図形で相似比がa:bのとき、面積比はa²:b²になる。
相似な立体で相似比がa:bのとき、表面積比はa²:b²、体積比はa³:b³になる。
どちらも、相似比をそのまま使うのではなく、2乗・3乗してから比を作る点に注意する。
例題
例題：相似比が3:4の相似な2つの図形があり、大きい方の面積が48cm²のとき、小さい方の面積を求めよう。
面積比は3²:4²＝9:16。小さい方の面積をxとすると、x:48＝9:16。
x＝48×9/16＝27cm²。相似比をそのまま使って48×3/4＝36としないよう気をつける。
なぜそうなるか
面積は「長さ×長さ」で決まる量。相似比a:bの図形では、縦・横どちらの長さもa:bになるので、面積はその2つをかけ合わせたa²:b²になる。
体積は「長さ×長さ×長さ」で決まる量なので、同じ理由で相似比の3乗a³:b³になる。
この関係を知っていれば、表面積比から相似比を逆算することもできるわけだ。表面積比4:9なら、相似比は√4:√9＝2:3になる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/similarity-area-volume-ratios/?from=print#quiz
相似な2つの図形の相似比が2:3。小さい方の面積が8cm²のとき、大きい方の面積は何cm²か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：18
面積比は相似比の2乗なので2²:3²＝4:9。8×9/4＝18なので、大きい方の面積は18cm²になる。相似な2つの立体の相似比が1:2のとき、体積比はどれか。
- ◯ 1:6
- ◯ 1:8
- ◯ 1:2
- ◯ 1:4
正解：1:8
体積比は相似比の3乗なので1³:2³＝1:8になる。相似な2つの図形の相似比が3:4。大きい方の面積が48cm²のとき、小さい方の面積は何cm²か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：27
面積比は3²:4²＝9:16。48×9/16＝27なので、小さい方の面積は27cm²になる。相似な2つの立体の表面積比が4:9のとき、相似比はどれか。
- ◯ 2:9
- ◯ 2:3
- ◯ 4:9
- ◯ 4:3
正解：2:3
表面積（新しいタブで開きます）比は相似比の2乗なので、相似比は4と9の平方根（新しいタブで開きます）の比。√4:√9＝2:3になる。相似な2つの立体の相似比が2:5。小さい方の体積が16cm³のとき、大きい方の体積は何cm³か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：250
体積比は2³:5³＝8:125。16×125/8＝250なので、大きい方の体積は250cm³になる。
単元のポイント
- 相似比 相似な図形で対応する辺の長さの比
- 面積比 相似な平面図形の面積の比。相似比の2乗になる
- 体積比 相似な立体の体積の比。相似比の3乗になる
- 表面積比 相似な立体の表面積の比。相似比の2乗になる