円柱と円すいの表面積
ゾウ先生表面積は展開図をかけば平面の問題になる。円すいの側面はおうぎ形だよ。
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- 表面積は、立体のすべての面の面積の合計。展開図にすると求めやすい。
- 円柱の側面は長方形で、横の長さは底面の円周2πr。表面積は「側面積＋底面積×2」になる。
- 円すいの側面はおうぎ形（新しいタブで開きます）。弧の長さが底面の円周と等しいことを使って、中心角（新しいタブで開きます）や面積を求める。
詳しく
公式
表面積は、立体の表面全体の面積のこと。側面全体の面積を側面積、底面1つの面積を底面積という。
円柱の表面積＝側面積＋底面積×2。側面は、縦が高さh、横が底面の円周2πrの長方形になる。
円すいの表面積＝側面積＋底面積。側面はおうぎ形で、その半径は母線の長さ、弧の長さは底面の円周2πrと同じだ。
例題
例題：底面の半径が3cm、母線の長さが5cmの円すいの表面積を求めよう。
側面のおうぎ形は半径5cm。弧の長さは底面の円周と同じで、2π×3＝6π cm になる。
半径5cmの円の円周は10π cm。6π÷10π＝3/5 なので、おうぎ形は円の3/5で、中心角は360×3/5＝216°。
側面積はπ×5²×3/5＝15π、底面積はπ×3²＝9π。表面積は15π＋9π＝24π cm²。
なぜそうなるか
円すいを母線にそって切り開くと、側面はおうぎ形、底面は円になる。
組み立てるとき、おうぎ形の弧は底面の円周にぴったり巻きつく。だから、2つの長さは等しい。
この関係を使うと、円すいの側面積は「π×母線×底面の半径」でも求められる。例題なら、π×5×3＝15π で答えは同じ。
円柱の側面は、切り開くと長方形。横の長さが底面の円周と等しいのも、同じ理由による。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/cylinder-and-cone-surface-area/?from=print#quiz
底面の半径が2cm、高さが6cmの円柱の表面積はどれか。
- ◯ 24π cm²
- ◯ 28π cm²
- ◯ 32π cm²
- ◯ 48π cm²
正解：32π cm²
側面は縦6cm、横2π×2＝4π cmの長方形で24π cm²。底面2つで2×π×2²＝8π cm²。合わせて32π cm²。底面の半径が4cm、母線の長さが12cmの円すいがある。展開図の側面のおうぎ形の中心角は何度か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：120
弧の長さは底面の円周で8π cm。半径12cmの円の円周24π cmの1/3なので、中心角（新しいタブで開きます）は360°の1/3で120°。底面の半径が4cm、母線の長さが12cmの円すいの表面積はどれか。
- ◯ 48π cm²
- ◯ 64π cm²
- ◯ 80π cm²
- ◯ 160π cm²
正解：64π cm²
側面積はπ×12²×1/3＝48π（π×母線×半径でもよい）。底面積はπ×4²＝16π。合わせて64π cm²。円すいの展開図で、側面のおうぎ形の弧の長さと等しいものはどれか。
- ◯ 底面の円周
- ◯ 底面の半径
- ◯ 円すいの高さ
- ◯ 母線の長さ
正解：底面の円周
組み立てると、おうぎ形（新しいタブで開きます）の弧が底面の円周にぴったり重なる。だから2つの長さは等しい。底面の半径が5cm、高さが10cmの円柱の側面積は □π cm² になる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：100
側面は縦10cm、横が底面の円周10π cmの長方形。10×10π＝100π で、100π cm²。
単元のポイント
- 展開図 立体を切り開いて、平面に広げた図
- 側面積 側面全体の面積
- 底面積 底面1つの面積。円柱・角柱には底面が2つある
- 母線 円すいの頂点と底面の円周上の点を結ぶ線分。展開図ではおうぎ形の半径になる
- 円すいの側面積 π×母線×底面の半径 でも求められる